Canvi de variables en equacions diferencials en derivades parcials

Sovint una equació diferencial en derivades parcials es pot reduir a una forma més simple amb una solució coneguda per un canvi de variables adequat.

Aquest article tracta del canvi de variable per a EDPs per dos vies:

1. Amb exemples;
2. Donant la teoria del mètode.

Explicació amb exemples

Per exemple, la següent forma simplificada de la EDP de Black–Scholes

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+S{\frac {\partial V}{\partial S}}-V=0.}$

és reductible l'equació de transferència de la calor

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

pel canvi de variables:^[1]

${\displaystyle V(S,t)=v(x(S),\tau (t))\,}$

${\displaystyle x(S)=\ln(S)\,}$

${\displaystyle \tau (t)={\frac {1}{2}}(T-t)\,}$

${\displaystyle v(x,\tau )=\exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )\,}$

seguint aquests passos:

• Es canvia ${\displaystyle V(S,t)}$ per ${\displaystyle v(x(S),\tau (t))}$ i s'aplica la regla de la cadena obtenint

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(-2v(s,\tau )+2{\frac {\partial \tau }{\partial t}}{\frac {\partial v}{\partial \tau }}+S\left(\left(2{\frac {\partial x}{\partial S}}+S{\frac {\partial ^{2}x}{\partial S^{2}}}\right){\frac {\partial v}{\partial x}}+S\left({\frac {\partial x}{\partial S}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}\right)=0.}$

• Se substitueix ${\displaystyle x(S)}$ i ${\displaystyle \tau (t)}$ per ${\displaystyle \ln(S)}$ i ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(T-t)}$ per obtenir

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(-2v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))-{\frac {\partial v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))}{\partial \tau }}+{\frac {\partial v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))}{\partial x}}.}$

• Se substitueix ${\displaystyle \ln(S)}$ i ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(T-t)}$ per ${\displaystyle x(S)}$ i ${\displaystyle \tau (t)}$ i es divideixen els dos costats entre ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ per aconseguir

${\displaystyle -2v-{\frac {\partial v}{\partial \tau }}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}=0.}$

• Es substitueix ${\displaystyle v(x,\tau )}$ per ${\displaystyle \exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )}$ i es divideix a atot arreu entre ${\displaystyle -\exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )}$ per obtrnir l'equació de la calor.

El següent consell sobre l'aplicació del canvi de variable a EDPs el va donar el matemàtic J. Michael Steele:^[2]

Tècnica general

Suposeu que es té una funció ${\displaystyle u(x,t)}$ i un canvi de variables ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ tal que hi ha funcions ${\displaystyle a(x,t),b(x,t)}$ tals que

${\displaystyle x_{1}=a(x,t)\,}$

${\displaystyle x_{2}=b(x,t)\,}$

i funcions ${\displaystyle e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2})}$ tals que

${\displaystyle x=e(x_{1},x_{2})\,}$

${\displaystyle t=f(x_{1},x_{2})\,}$

i a més tals que

${\displaystyle x_{1}=a(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))\,}$

${\displaystyle x_{2}=b(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))\,}$

i

${\displaystyle x=e(a(x,t),b(x,t))\,}$

${\displaystyle t=f(a(x,t),b(x,t))\,}$

En altres paraules, és útil que hi hagi una funció bijectiva entre el conjunt vell de variables i el nou, o sinó s'ha de:

• Restringir el camp d'aplicabilitat de la correspondència a un suubconjunt del pla real que és suficient per una solució del problema pràctic entre mans (on una altra vegada necessita ser una bijecció), i

• Enumerar els (zero o la llista finita) d'excepcions (pols) on l'altrament bijecció falla (i dir per què aquestes excepcions no restringeixen l'aplicabilitat de la solució de l'equació reduïda a l'equació original)

Si no existeix una bijecció llavors la solució a l'equació de la forma reduïda no serà en general una solució de l'equació original.

S'està estuduant el canvi de variables per a EDPs. Ua EDP es pot expressar com un operador diferencial aplicat a una funció. Suposeu que ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ sigui un operador diferencial tal que

${\displaystyle {\mathcal {L}}u(x,t)=0\,}$

Llavors també és el cas que

${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0\,}$

on

${\displaystyle v(x_{1},x_{2})=u(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))\,}$

i s'opera de la manera següent per anar des de ${\displaystyle {\mathcal {L}}u(x,t)=0}$ fins a ${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0:}$

• S'aplica la regla de la cadena a ${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1}(x,t),x_{2}(x,t))=0}$ i s'xpandeix l'equació donada ${\displaystyle e_{1}}$.

• Es substitueix per ${\displaystyle a(x,t)}$ ${\displaystyle x_{1}(x,t)}$ i ${\displaystyle b(x,t)}$ per a ${\displaystyle x_{2}(x,t)}$ en ${\displaystyle e_{1}}$ i s'expandeix donant l'equació ${\displaystyle e_{2}}$.

• Es canvien les ocurrencies de ${\displaystyle x}$ per ${\displaystyle e(x_{1},x_{2})}$ i ${\displaystyle t}$ per ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$ per produir ${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0}$, que estarà lliure de ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle t}$.

Coordenades d'acció - angle

Sovint, la teoria pot establir l'existència d'un canvi de variables, encara que la fórmula mateixa no es pot establir explícitament. Per a un sistema hamiltonià integrable de dimensió ${\displaystyle n}$, amb ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\partial H/\partial p_{j}}$ i ${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-\partial H/\partial x_{j}}$, existeixen n integrals ${\displaystyle I_{i}}$.

Existeix un canvi de variables des de les coordenades ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n},p_{1},\dots ,p_{n}\}}$ a un conjunt de variables ${\displaystyle \{I_{1},\dots I_{n},\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\}}$, en el qual les equacions del moviment esdevenen ${\displaystyle {\dot {I}}_{i}=0}$, a ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{i}=\omega _{i}(I_{1},a\dots ,I_{n})}$, on les funcions ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{n}}$ són incògnites, però només depenen de ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$. Les variables ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$ són les coordenades dacció, les variables ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}}$ són les coordenades angulars. Llavors, el moviment del sistema es pot veure com una rotació en un torus. Com a exemple particular, considereu l'oscil·lador harmònic simple, amb ${\displaystyle {\dot {x}}=2p}$ and ${\displaystyle {\dot {p}}=-2x}$, amb ${\displaystyle H(x,p)=x^{2}+p^{2}}$ hamiltonià. Aquest sistema es pot reescriure com ${\displaystyle {\dot {I}}=0}$, ${\displaystyle {\dot {\varphi }}=1}$, on ${\displaystyle I}$ i ${\displaystyle \varphi }$ són les coordenades canòniques polars: ${\displaystyle I=p^{2}+q^{2}}$ i ${\displaystyle \tan(\varphi )=p/x}$. Vegeu V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, per més details.^[3]

Referències