Conjunt de les parts

Diagrama del conjunt de les parts.

Donat un conjunt S, es defineix el conjunt de les parts de S o conjunt potència de S, escrit P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} , P(S), ℘(S), o 2S, com el conjunt de tots els subconjunts de S. Per exemple, si S és el conjunt {a, b, c} aleshores la llista completa dels subconjunts de S és:

  • {Ø} (conjunt buit)
  • {a}
  • {b}
  • {c}
  • {a,b}
  • {a,c}
  • {b,c}
  • {a,b,c}

Per tant, el conjunt de les parts de S serà:

P ( S ) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } } {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}}

Si S és un conjunt finit amb card (S) = n elements, aleshores el conjunt de les parts de S conté card(℘(S))= 2n elements.

La notació 2S

En la teoria de conjunts, XY és el conjunt de totes les funcions d'Y a X. Com que 2 pot ser definit com a {0, 1} (vegeu nombre natural), 2S és el conjunt de totes les funcions de S a {0, 1}. Cada funció en 2S està en correspondència bijectiva amb un subconjunt de S (l'antiimatge d'1) i per tant els dos conjunts 2S i P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} són equipotents.