Conjunt tancat

En topologia i altres branques de la matemàtica, un conjunt tancat és un conjunt el complementari del qual és un obert.

Definició d'un conjunt tancat

Donat un espai topològic ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} , un conjunt C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} és tancat si el seu complementari X ∖ C {\displaystyle X\setminus C} (també simbolitzat per Cc) és un conjunt obert de la topologia τ {\displaystyle \tau } .

Això es pot expressar d'altres formes equivalents. com ara:

  • Un conjunt és tancat sii coincideix amb la seva adherència.
  • Un conjunt és tancat sii conté tots els seus punts frontera.
  • Un conjunt és tancat sii conté tots els seus punts d'acumulació.

Propietats dels conjunts tancats

  • La intersecció d'un nombre arbitrari de conjunts tancats és tancat.
  • La unió d'un nombre finit de conjunts tancats és tancat.
  • El conjunt buit i el conjunt total són tancats.

La propietat de la intersecció permet definir l'adherència d'un conjunt A dins un espai X, denotada per A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} , com el subconjunt tancat de X més petit i que conté A: aquest conjunt és la intersecció de tots els conjunts tancats que inclouen A.

Altres propietats d'interès són:

  • Tot subconjunt tancat d'un conjunt compacte és també compacte.
  • La frontera de qualsevol conjunt és tancada.
  • L'antiimatge d'un conjunt tancat per una aplicació contínua entre dos espais topològics és tancada.

Exemples de conjunts tancats

  • Qualsevol subconjunt finit de punts de la recta real amb la topologia euclidiana.
  • L'interval tancat [a,b] dels nombres reals amb la topologia euclidiana és tancat: el seu complementari ( − ∞ , a ) ∩ ( b , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,a)\cap (b,+\infty )} és obert.
  • El conjunt [0,1] ∩ Q dels nombres racionals entre 0 i 1 (ambdós inclosos) és tancat en l'espai dels nombres racionals amb la topologia euclidiana. En canvi, [0,1] ∩ Q no és tancat en els reals amb la topologia euclidiana.
  • Tot conjunt és tancat en un espai amb la topologia discreta.
  • L'el·lipse de regió x 2 9 + y 2 16 ≤ 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{16}}\leq 1} és un conjunt tancat amb la topologia habitual del pla.

Vegeu també