Convergència (successió matemàtica)

En anàlisi matemàtica, el concepte de convergència es refereix a la propietat que tenen algunes successions númèriques a tendir a un límit. Aquest concepte és molt general i depenent de la naturalesa del conjunt en què es troba definida la successió, pot adoptar diferents formes.

Definició

S'acostuma a escriure com

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$

o també

${\displaystyle x_{n}\ {\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ x\quad {\mbox{quan}}\quad n\to \infty }$

o simplement

${\displaystyle x_{n}\to x.}$

Intuïtivament, això vol dir que els elements ${\displaystyle x_{n}\,}$ de la successió poden ser tan propers a ${\displaystyle x\,}$ com vulguem si ${\displaystyle n\,}$ és prou gran, ja que ${\displaystyle \,d(x_{n},x)}$ determina la distància entre ${\displaystyle \,x_{n}}$ i ${\displaystyle \,x}$. A partir de la definició, es pot demostrar que si una successió convergeix, ho fa cap a un únic límit.

Aquesta definició s'aplica en els casos concrets dels espais vectorials normats i dels espais amb producte intern. En el cas d'un espai normat ${\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}$, la norma ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$ indueix la mètrica ${\displaystyle d(x,y):=\Vert y-x\Vert }$ per cada ${\displaystyle x,y\in E}$; en el cas dels espais amb producte intern ${\displaystyle (E,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$, el producte intern ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ indueix la norma ${\displaystyle \Vert x\Vert ={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ per cada ${\displaystyle x\in E}$.

Exemples

• Successions a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Els conjunts dels nombres reals ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i dels nombres complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ es construeixen en un espai mètric per mitjà del valor absolut: per a cada parella d'elements ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$, la funció ${\displaystyle d(x,y):=\vert y-x\vert }$ determina una mètrica.

Per tant, una successió ${\displaystyle \,\{x_{n}\}}$ en ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ convergeix a un ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ si per qualsevol ${\displaystyle \varepsilon >0}$, existeix un enter ${\displaystyle \,N}$ tal que

${\displaystyle n\geq N\Rightarrow \vert x_{n}-x\vert <\varepsilon .}$

Alguns exemples poden ser:

• La successió constant definida per ${\displaystyle \,x_{n}:=c}$ per a tots els valors de ${\displaystyle \,N}$, on ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$. Aquesta successió convergeix a ${\displaystyle \,c}$ ja que:

${\displaystyle \vert x_{n}-c\vert =\vert c-c\vert =0<\varepsilon }$

• La successió ${\displaystyle \,x_{n}:=1/n}$. Aquesta successió convergeix a zero, ja que per la propietat arquimediana dels nombres reals, per cada ${\displaystyle \varepsilon >0}$, existeix un nombre natural ${\displaystyle \,N}$ tal que ${\displaystyle N\varepsilon >1}$, i per tant, si ${\displaystyle n>\,N,1/n<1/N}$ i llavors:

${\displaystyle \vert x_{n}-0\vert =\vert 0\vert =1/n<1/N<\varepsilon .}$

• La successió de l'exemple anterior és un cas particular d'un resultat més general. Si ${\displaystyle \,p>0,}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}$

• Si ${\displaystyle \vert a\vert <1}$, llavors ${\displaystyle a^{n}\to 0.}$

• La successió ${\displaystyle \,z_{n}:=e^{i\pi n}}$. En aquest cas no convergeix, sinó que els valors oscil·len en ${\displaystyle \,-1,1,-1,1,\ldots }$

• Donat que ${\displaystyle \mathbb {c} }$ (en particular ${\displaystyle \mathbb {R} }$) està dotat de l'operació suma (cosa que no passa en tots els espais mètrics), a cada successió ${\displaystyle \{a_{n}\}\,}$ a ${\displaystyle \mathbb {c} }$ (en particular ${\displaystyle \mathbb {R} }$) és possible associar-li la successió de sumes parcials

${\displaystyle s_{n}:=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

La successió ${\displaystyle \{s_{n}\}\,}$ s'expressa com

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

i se l'anomena sèrie infinita. En el cas que la successió de sumes parcials convergeixi, ${\displaystyle s_{n}\to s}$, es diu que és una sèrie convergent i s'escriu

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=s.}$

En cas contrari, pot ser una sèrie divergent o bé una sèrie oscil·latòria. Exemples clàssics de sèries convergents, divergents i oscil·latòries són

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a^{n}={\frac {a}{1-a}},(\vert a\vert <1),\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty ,\quad \sum _{n=1}^{k}(-1)^{n}={\begin{cases}-1,&{\mbox{si }}k{\mbox{ imparell}}\\\quad 0,&{\mbox{si }}k{\mbox{ parell}}\end{cases}}}$