Derivada direccional

En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de diverses variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quan es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels eixos de coordenades.

La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux.

Definició

La derivada direccional d'una funció escalar ${\displaystyle f({\vec {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ al llarg d'un vector ${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ és la funció definida pel límit

${\displaystyle \nabla _{\vec {v}}{f}({\vec {x}})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h}}.}$

De vegades alguns autors escriuen D_v en comptes de ${\displaystyle \nabla _{v}}$. Si la funció ${\displaystyle f}$ és derivable a ${\displaystyle {\vec {x}}}$, llavors la derivada direccional existeix al llarg de qualsevol vector ${\displaystyle {\vec {v}},}$ i es té

${\displaystyle \nabla _{\vec {v}}{f}({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\vec {v}}}$

On la ${\displaystyle \nabla }$ de la dreta denota el gradient i ${\displaystyle \cdot }$ és el Producte escalar. A qualsevol punt ${\displaystyle {\vec {x}}}$, la derivada direccional de ${\displaystyle f}$, intuïtivament, representa la raó de canvi de ${\displaystyle f}$ al llarg de ${\displaystyle {\vec {v}}}$ al punt ${\displaystyle {\vec {x}}}$. Normalment les direccions es prenen normalitzades, és a dir ${\displaystyle {\vec {v}}}$ és un vector unitari, tot i que la definició de més amunt funciona per a vectors qualssevol.^[1]

Demostració

Per claredat es farà la demostració pel cas d'una funció de dues variables, el cas general s'obté de la mateixa manera. Sia una funció derivable ${\displaystyle z=f(x,y)\;}$. La derivada direccional en la direcció d'un vector ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$ és:

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}}}$

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y+v_{y}h)+f(x,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}}}$

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y+v_{y}h)}{h}}+\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}}}$

El primer d'aquests límits es pot calcular amb el canvi ${\displaystyle h'=v_{x}h\;}$ això, pel fet de ser derivable la funció, condueix a:

${\displaystyle \lim _{h'\to 0}{\cfrac {f(x+h',y+v_{y}h'/v_{x})-f(x,y+v_{y}h'/v_{x})}{h'/v_{x}}}=\lim _{h'\to 0}v_{x}{\frac {\partial f(x,y+v_{y}h'/v_{x})}{\partial x}}=v_{x}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}}$

Fent el mateix amb l'altre límit i sumant s'obté:

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f=v_{x}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}}$

Aquest resultat coincideix amb el producte escalar del gradient pel vector ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$:

${\displaystyle (\nabla f)\cdot \mathbf {v} =\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}},{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right)\cdot (v_{x},v_{y})={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}v_{y}=D_{\mathbf {v} }f}$

Propietats

Moltes de les propietats de la derivadaordinària, també les té la derivada direccional. Entre elles hi ha, per a qualssevol parell de funcions f i g definides en un entorn de p i derivables a p:

• La regla de la suma: ${\displaystyle \nabla _{v}(f+g)=\nabla _{v}f+\nabla _{v}g}$
• La regla del producte per una constant: Per a qualsevol constant c, ${\displaystyle \nabla _{v}(cf)=c\nabla _{v}f}$
• La regla del producte: ${\displaystyle \nabla _{v}(fg)=g\nabla _{v}f+f\nabla _{v}g}$
• La regla de la cadena: Si g és derivable a p i h és derivable a g(p), llavors

${\displaystyle \nabla _{v}h\circ g(p)=h'(g(p))\nabla _{v}g(p)}$

En geometria diferencial

Sia M una varietat diferenciable i p un punt de M. Suposant que f sigui una funció definida en un entorn de p, i que sigui derivable a p. Si v és un vector tangent a M en p, llavors la derivada direccional de f al llarg de v, escrita indiferentment com a ${\displaystyle \nabla _{v}f(p)}$ (vegeu derivada covariant), ${\displaystyle L_{v}f(p)}$ (vegeu derivada de Lie), o ${\displaystyle v_{p}(f)}$ (vegeu espai tangent), es pot definir tal com segueix. Sia γ : [-1,1] → M una corba derivable amb γ(0) = p i γ^′(0) = v. Llavors la derivada direccional es defineix per

${\displaystyle \nabla _{v}f(p)=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}}$

Es pot demostrar que aquesta definició és independent de la tria de γ, suposant que γ se selecciona de la forma prescrita, és a dir γ'(0) = v.

Derivada normal

Una derivada normal és una derivada direccional presa en la direcció normal (és a dir ortogonal) a alguna superfície en l'espai, o de forma més general, al llarg d'un camp vectorial ortogonal a alguna hipersuperfície. Vegeu per exemple la condició de frontera de Neumann. Si la direcció normal s'escriu ${\displaystyle {\vec {n}}}$, llavors la derivada direccional d'una funció ƒ s'escriu de vegades ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}}$.

Referències

Vegeu també

• Derivada de Lie
• Forma diferencial