Equació de Poisson

En matemàtiques l'equació de Poisson és una equació diferencial en derivades parcials que s'utilitza a bastament en electroestàtica, enginyeria mecànica i física teòrica. Rep el seu nom en honor del matemàtic, geòmetra i físic francès Siméon Denis Poisson.

L'equació de Poisson és:

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

on ${\displaystyle \Delta }$ és l'operador laplacià, i f i φ són funcions amb valors reals o complexos sobre una varietat. Quan la varietat és un espai euclidià, l'operador laplacià s'acostuma a escriure com ${\displaystyle {\nabla }^{2}}$ i l'equació de Poisson s'escriu com

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}$

En un sistema de coordenades cartesianes tridimensional pren la forma

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

Per la desaparició de f, aquesta l'equació esdevé l'equació de Laplace

${\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}$

L'equació de Poisson pot ser resolta utilitzant diferents mètodes com ara la funció de Green o mètodes numèrics com el mètode de les diferències finites o el mètode dels elements finits. D'altra banda en gravitació relativista s'utilitzen mètodes de resolució basats en la transformada de Fourier.

Electroestàtica

Una de les pedres angulars de l'electroestàtica és el plantejament i solució de problemes que són descrits per mitjà de l'equació de Poisson. Buscar φ per un valor f donat és un problema pratic important en tant que és la via habitual de trobar el potencial elèctric per a una distribució de càrrega donada. En unitats del SI:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$

on ${\displaystyle \Phi \!}$ és el potencial elèctric (en volts), ${\displaystyle \rho \!}$ és la densitat de càrrega (en coulombs per metre cúbic), i ${\displaystyle \epsilon _{0}\!}$ és la permitivitat del buit (en farads per metre).

A una regió de l'espai on no hi ha densitat de càrregues desaparellades, tenim

${\displaystyle \rho =0,\,}$

i l'equació per al potencial esdevé l'equació de Laplace:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.}$

Potencial d'una densitat de càrrega Gaussiana

Si hi ha una distribució gaussiana de densitat de càrrega simètrica en forma d'esfera ${\displaystyle \rho (r)}$:

${\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

on Q és la càrrega total, llavors la solució Φ (r) de l'equació de Poisson

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$

vindrà donada per

${\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$

on erf(x) és la funció d'error.

Aquesta solució pot ser comprovada per mitjà d'una avaluació manual de ${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi }$.

Noteu que per a un valor de r molt més gran que σ, erf(x)s'aproxima a la unitat i el potencial Φ (r) s'aproxima al potencial elèctric de la càrrega puntual ${\displaystyle {1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}}$, tal com era d'esperar.

Problema de Neumann

El problema de Neumann és similar a l'anterior però en lloc de fixar el valor de la funció incògnita sobre la frontera, fixa el valor de la derivada perpendicularment a la superfície

(3)${\displaystyle {\begin{cases}\Delta \varphi (\mathbf {x} )=0&\mathbf {x} \in \Omega \\\mathbf {n} \cdot \nabla \varphi ({\bar {\mathbf {x} }})=\mathbf {h} ({\bar {\mathbf {x} }})&{\bar {\mathbf {x} }}\in \partial \Omega \end{cases}}}$

Referències

• Poisson Equation a EqWorld: El món de les equacions.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9