Linealitat de la derivació

En matemàtiques, la linealitat de la derivació és una de les propietats fonamentals de la derivada.[1] És un resultat directe de l'aplicació de la regla de la derivada de la suma i de la regla de la derivada del producte per una constant. Per tant es pot dir que la derivació és lineal, o que l'operador derivada és un operador lineal.

Sian f i g funcions, amb α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } constants. Es considera:

d d x ( α ⋅ f ( x ) + β ⋅ g ( x ) ) {\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))}

Per la regla de la derivada de la suma, això és equivalent a:

d d x ( α ⋅ f ( x ) ) + d d x ( β ⋅ g ( x ) ) {\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x))}

Per la regla de la derivada del producte per una constant, queda:

α ⋅ f ′ ( x ) + β ⋅ g ′ ( x ) {\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}

És a dir:

d d x ( α ⋅ f ( x ) + β ⋅ g ( x ) ) = α ⋅ f ′ ( x ) + β ⋅ g ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}

O escrit d'una altra manera:

( α ⋅ f + β ⋅ g ) ′ = α ⋅ f ′ + β ⋅ g ′ {\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'}

Referències

  1. ↑ Blank, Brian E.; Krantz, Steven George. Calculus: Single Variable (en anglès). Springer Science & Business Media, 2006. ISBN 9781931914598.