Piràmide pentagonal

Piràmide pentagonal
Elements

Model 3D
Tipus	Sòlid de Johnson
Forma de les cares	Triangles equilàters i un pentàgon
Símbol de Schläfli	()∨{5}
Cares per vèrtex	3 i 5
Vèrtexs per cara	3 i 5
Simetria	C_5v
Dual	Ella mateixa
Propietats	Convex

Cares	6
Arestes	10
Vèrtexs	6

Característica	2

En geometria, la piràmide pentagonal és una piràmide que té un pentàgon a la base. Aquest políedre té 6 cares, 10 arestes i 6 vèrtexs.

Si el vèrtex oposat a la base pentagonal està sobre la perpendicular traçada al centra del pentàgon llavors té simetria C_5v.

Com totes les piràmides, és dual de si mateixa.

Àrea i volum

L'àrea d'una piràmide pentagonal d'altura $h$ amb base pentagonal regular de costat $L$ és ^[1]

A={\frac {5}{4}}\cdot L\cdot {\frac {L+{\sqrt {L^{2}+4h^{2}(5-2{\sqrt {5}})}}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}

I el seu volum és ^[1]

V=L^{2}\cdot h\cdot {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{12}}

Si les cares triangulars de la piràmide són triangles equilàters, llavors és un dels noranta-dos sòlids de Johnson (J₂).

L'altura de la pirámide d'aresta a és ^[1]^[2]

H=a{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}

L'àrea (A) i el volum (V) de la piràmide són

A={\frac {1}{2}}\cdot a^{2}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}

V={\frac {1}{24}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)a^{3}

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Sapiña, R. «Àrea i volum d'una piràmide pentagonal i del sòlid de Johnson J₂» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 29 juny 2020].
↑ Weisstein, Eric W. «Piràmide pentagonal» (en anglès). [Consulta: 29 juny 2020].

Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjectura que no n'hi ha d'altres.
Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament