Derivační článek

Dvě možná zapojení pasivního derivačního článku

Derivační článek (derivátor) je elektronický obvod, který v obvodu provádí matematickou operaci derivování – napětí na výstupu je derivací napětí na vstupu podle času. Ideální derivační článek tak realizuje funkci:

u 2 ( t ) = 1 K d d d t u 1 ( t ) {\displaystyle u_{2}(t)={\frac {1}{K_{\rm {d}}}}{\frac {d}{dt}}u_{1}(t)} ,

kde K d {\displaystyle K_{\rm {d}}} je konstanta derivátoru.

Funkce

Derivační článek má frekvenční charakteristiku hornopropustného filtru – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí roste. U ideálního derivátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence desetinásobný vzrůst amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je +20 dB/dek.

Přenos derivačního článku je F ( j ω ) = U 2 U 1 = j ω K d 1 + j ω K d {\displaystyle F(j\omega )={\frac {U_{2}}{U_{1}}}={\frac {j\omega K_{\rm {d}}}{1+j\omega K_{\rm {d}}}}} .

Derivační konstanta pasivního derivačního článku s rezistorem a kondenzátorem je Kd  = RC, s rezistorem a cívkou Kd  = L/R.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a kondenzátorem je:

| A ( j ω ) | d B = 20 log ⁡ | F ( j ω ) | = 20 log ⁡ ω R C − 20 log ⁡ 1 + ω 2 R 2 C 2 {\displaystyle |A(j\omega )|_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log \omega RC-20\log {\sqrt {1+\omega ^{2}R^{2}C^{2}}}}

První člen LAFCH tvoří přímku stoupající se strmostí 20 dB/dek, která protíná osu X v bodě ω 0 = 1 / R C {\displaystyle \omega _{0}=1/RC} (na obrázku vyznačena černě), u druhého členu lze diskutovat tři případy:

  1. Je-li ω R C << 1 {\displaystyle \omega RC<<1} , pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} roven nule.
  2. Je-li ω R C = 1 {\displaystyle \omega RC=1} , je ω = ω 0 = 1 / R C = 1 / K i {\displaystyle \omega =\omega _{0}=1/RC=1/K_{i}} kde ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} je úhlová frekvence zlomu.
  3. Je-li ω R C >> 1 {\displaystyle \omega RC>>1} , můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Součtem obou průběhů dostáváme výslednou charakteristiku, ta až do bodu ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} stoupá se strmostí +20 dB/dek k ose X, a od tohoto bodu sleduje osu X (na obrázku vyznačeno modře).

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a cívkou je:

| F ( j ω ) | d B = 20 log ⁡ | F ( j ω ) | = 20 log ⁡ ω L R − 20 log ⁡ 1 + ω 2 L 2 R 2 {\displaystyle |F(j\omega )|_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log \omega {\frac {L}{R}}-20\log {\sqrt {1+\omega ^{2}{\frac {L^{2}}{R^{2}}}}}}

První člen LAFCH tvoří přímku stoupající se strmostí 20 dB/dek, která protíná osu X v bodě ω 0 = R / L {\displaystyle \omega _{0}=R/L} (na obrázku vyznačena černě), u druhého členu lze diskutovat tři případy:

  1. Je-li ω L / R << 1 {\displaystyle \omega L/R<<1} , pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} roven nule.
  2. Je-li ω L / R = 1 {\displaystyle \omega L/R=1} , je ω = ω 0 = R / L = 1 / K i {\displaystyle \omega =\omega _{0}=R/L=1/K_{i}} kde ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} je úhlová frekvence zlomu.
  3. Je-li ω L / R >> 1 {\displaystyle \omega L/R>>1} , můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem v úhlové zlomové frekvenci ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Součtem obou průběhů dostáváme výslednou charakteristiku, ta až do bodu ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} stoupá se strmostí +20 dB/dek k ose X, a od tohoto budu sleduje osu X (na obrázku vyznačeno modře).

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika derivačního článku(pasivní horní propusti)

LAFCH je pouze aproximací skutečné charakteristiky, největší chyba nastává v bodě ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} (3 dB).

Konstrukce

Derivační článek obsahuje nejméně jednu frekvenčně závislou součástku (kondenzátor, cívka). Nejjednodušším zapojením je pasivní zapojení využívající jeden kondenzátor či cívku. Aktivní elektronický derivátor obsahuje operační zesilovač s rezistorem a kondenzátorem. Derivátor lze také koncipovat jako digitální součástku, např. složením převodníku napětí-frekvence s čítačem impulsů.

Reference

  • Kotlan Jiří: Syntéza elektrických obvodů I. Západočeská univerzita, Plzeň 1995. ISBN 80-7082-211-2
  • Pinker Jiří, Koucký Václav: Analogové elektronické systémy 2. Západočeská univerzita, Plzeň 2004. ISBN 80-7043-284-5

Související články