Jonedovo lemma

V matematice je Jonedovo lemma pravděpodobně nejdůležitějším výsledkem v teorii kategorií.^[1] Je to abstraktní tvrzení o funktorech druhu morfismy do daného objektu. Jde o značné zobecnění Cayleyho věty z teorie grup (pokud se grupa vezme jako miniaturní kategorie pouze s jedním objektem a pouze isomorfismy). Umožňuje vnoření libovolné kategorie do kategorie funktorů (kontravariantních funktorů nad množinami) definovaných nad touto kategorií. Také objasňuje, jak se vnořená kategorie reprezentovatelných funktorů a jejich přirozených transformací chová ve vztahu k ostatním objektům v celé kategorii funktorů. Jde o důležitý nástroj, který stojí za mnoha moderními výsledky v algebraické geometrii a teorii reprezentace. Je pojmenováno po Nobuovi Yonedovi.

Obecniny

Jonedovo lemma naznačuje, že místo zkoumání (lokálně malé) kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ by se měla studovat kategorie všech funktorů z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ (kategorie množin s funkcemi jako svými morfismy). ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ je považována za veskrze dobře pochopenou kategorii a funktor z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ může být nahlížen jako "reprezentace" ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ pomocí známých struktur. Původní kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ je v této kategorii obsažena, ale spolu s ní se zde objevují nové objekty, které v ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ chyběly či byly "skryty". Práce s těmito objekty často sjednocuje a zjednodušuje postup.

Tento přístup je podobný (a ve skutečnosti je zobecněním) běžnému způsobu studia okruhu zkoumáním jeho modulů. Okruh nahradí kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ a kategorie modulů nad tímto okruhem je kategorií funktorů definovaných na ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Formální znění

Jonedovo lemma se týká funktorů z dané kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do kategorie množin, ${\displaystyle \mathbf {Set} }$. Je-li ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ lokálně malá kategorie (tj. hom-sady jsou skutečně množiny, nikoliv vlastní třídy), pak každý objekt ${\displaystyle A}$ z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dává vzniknout přirozenému funktoru do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$, zvanému hom-funktor. Tento funktor se značí:

${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$ .

Tento (kovariantní) hom-funktor ${\displaystyle h^{A}}$ zobrazí ${\displaystyle X}$ do množiny morfismů ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ a morfismus ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ na morfismus ${\displaystyle f\circ -}$ (složení s ${\displaystyle f}$ vlevo), který zobrazuje morfismus ${\displaystyle g}$ v ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ na morfismus ${\displaystyle f\circ g}$ v ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,Y)}$ . Konkrétně,

${\displaystyle h^{A}(f)=\mathrm {Hom} (A,f){\mbox{, neboli}}}$

${\displaystyle h^{A}(f)(g)=f\circ g}$ .

Nechť je ${\displaystyle F}$ libovolný funktor z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ . Pak Jonedovo lemma říká, že:

Pro každý objekt ${\displaystyle A}$ z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ jsou přirozené transformace ${\displaystyle \operatorname {Nat} \left(h^{A},F\right)\equiv \operatorname {Hom} \left(\operatorname {Hom} \left(A,-\right),F\right)}$ z ${\displaystyle h^{A}}$ do ${\displaystyle F}$ ve vzájemně jednoznačné korespondenci s prvky ${\displaystyle F(A)}$, tedy:

${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(\operatorname {Hom} \left(A,-\right),F\right)\cong F(A)}$.

Tento isomorfismus je navíc přirozený v ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle F}$, pokud obě strany vezmeme jako funktory z ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\textbf {Set}}^{\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$.

Zde zápis ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ označuje kategorii funktorů z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ .

Máme-li přirozenou transformaci ${\displaystyle \Phi }$ z ${\displaystyle h^{A}}$ do ${\displaystyle F}$, odpovídající prvek ${\displaystyle F(A)}$ je ${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$ ;^{[pozn. 1]} dále máme-li prvek ${\displaystyle u}$ z ${\displaystyle F(A)}$, odpovídající přirozenou transformaci dostaneme z ${\displaystyle \Phi (f)=F(f)(u)}$ .

Kontravariantní verze

Existuje kontravariantní verze Jonedova lemmatu, která se týká kontravariantních funktorů z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ . Tato verze zahrnuje kontravariantní hom-funktor

${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A),}$

který zobrazuje ${\displaystyle X}$ na hom-sadu ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$ . Pro libovolný kontravariantní funktor ${\displaystyle G}$ z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ Jonedovo lemma říká, že

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A).}$

Ustálené názvosloví

Použití ${\displaystyle h^{A}}$ pro kovariantní hom-funktor a ${\displaystyle h_{A}}$ pro kontravariantní hom-funktor není zcela standardní. Mnoho textů a článků používá přesně opačné značení nebo úplně jiné symboly. Poslední moderní texty algebraické geometrie počínaje zakladatelskou EGA Alexandra Grothendiecka ovšem používají stejnou konvenci jako tento článek. ^{[pozn. 2]}

Mnemotechnické "padání do něčeho" může být užitečné při pamatování si, že ${\displaystyle h_{A}}$ je kontravariantní hom-funktor. Když písmeno ${\displaystyle A}$ klesá (je dolní index), ${\displaystyle h_{A}}$ přiřadí k objektu ${\displaystyle X}$ morfismy z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle A}$ .

Důkaz

Důkaz Jonedova lemmatu je vystižen následujícím komutativním diagramem:

Tento diagram ukazuje, že přirozená transformace ${\displaystyle \Phi }$ je zcela určena ${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$, protože pro každý morfismus ${\displaystyle f\colon A\to X}$ máme

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u}$ .

Navíc jakýkoli prvek ${\displaystyle u\in F(A)}$ tímto způsobem definuje přirozenou transformaci. Důkaz v kontravariantním případě je zcela analogický.

Jonedovo vnoření

Důležitým zvláštním případem Jonedova lemmatu je, když je funktor ${\displaystyle F}$ z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ dalším hom-funktorem ${\displaystyle h^{B}}$ . V tomto případě kovariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

Tedy že přirozené transformace mezi hom-funktory jsou ve vzájemně jednoznačné korespondenci s morfismy (v opačném směru) mezi přidruženými objekty. Máme-li morfismus ${\displaystyle f\colon B\to A}$, přidružená přirozená transformace se značí ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$ .

Pokud zobrazíme každý objekt ${\displaystyle A}$ v ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ na přidružený hom-funktor ${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$ a každý morfismus ${\displaystyle f\colon B\to A}$ na odpovídající přirozenou transformaci ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$, určíme tím kontravariantní funktor ${\displaystyle h^{-}}$ z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$, kategorie funktorů všech (kovariantních) funktorů z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ . ${\displaystyle h^{-}}$ se dá interpretovat jako kovariantní funktor :

${\displaystyle h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

Význam Jonedova lemmatu za těchto okolností je, že funktor ${\displaystyle h^{-}}$ je plně věrný, a proto určuje vnoření ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ do kategorie funktorů do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ . Sada všech funktorů ${\displaystyle \{h^{A}|A\in C\}}$ je podkategorií ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ . Z Jonedova vnoření tedy vyplývá, že kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ je izomorfní ke kategorii ${\displaystyle \{h^{A}|A\in C\}}$ .

Kontravariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

Proto ${\displaystyle h_{-}}$ dává vzniknout kovariantnímu funktoru z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do kategorie kontravariantních funktorů do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ :

${\displaystyle h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

Jonedovo lemma pak říká, že každá lokálně malá kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ může být vnořena do kategorie kontravariantních funktorů z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ do ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ skrz ${\displaystyle h_{-}}$ . Tomuto se říká Jonedovo vnoření.

Jonedovo vnoření je někdy označováno znakem よ, což je kana v rámci písma Hiragana, Jo. ^[2]

Reprezentovatelný funktor

Jonedovo vnoření v zásadě uvádí, že pro každou (lokálně malou) kategorii mohou být objekty v této kategorii reprezentovány pomocí předsvazků, a to plně a věrně. Jinými slovy,

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},P)\cong P(A).}$

pro nějaký předsvazek P. Mnoho běžných kategorií jsou ve skutečnosti předsvazky, ba po důkladnějším prozkoumání dokonce svazky, a jelikož takové případy mají obvykle topologickou povahu, lze je obecně považovat za toposy. Jonedovo lemma pak představuje nástroj, pomocí něhož lze topologickou strukturu kategorií zkoumat.

Z hlediska (ko)koncového kalkulu

Pro dvě kategorie ${\displaystyle \mathbf {C} }$ a ${\displaystyle \mathbf {D} }$ se dvěma funktory ${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$ lze přirozené transformace mezi nimi zapsat jako následující konec:

${\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {D} (Fc,Gc)}$

Pro všechny funktory ${\displaystyle K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Sets} }$ a ${\displaystyle H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Sets} }$ jsou následující vzorce jiná znění Jonedova lemmatu.^[3]

${\displaystyle K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathbf {C} (-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }Kc^{\mathbf {C} (c,-)},}$

${\displaystyle H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathbf {C} (c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }Hc^{\mathbf {C} (-,c)}.}$

Preaditivní kategorie, okruhy a moduly

Preaditivní kategorie je kategorie, v které sady morfismů tvoří abelovské grupy a skládání morfismů je bilineární; příkladem jsou kategorie abelovských grup nebo modulů. V preaditivní kategorii existuje jak „násobení“, tak „sčítání“ morfismů, a proto jsou preaditivní kategorie vnímány jako zobecnění okruhů. Okruhy jsou preaditivní kategorie s jedním objektem.

Jonedovo lemma je pravdivé i pro preaditivní kategorie, pokud si jako rozšíření zvolíme kategorii aditivních kontravariantních funktorů z původní kategorie do kategorie abelovských grup. Jedná se o funktory, které jsou kompatibilní se sčítáním morfismů, a lze je brát jako základ kategorie modulů nad původní kategorií. Jonedovo lemma pak poskytuje přirozený recept jak zvětšit preaditivní kategorii tak, aby tato zvětšená verze zůstala preaditivní — ve skutečnosti je zvětšená verze abelovskou kategorií, což je mnohem silnější vlastnost. V případě okruhu ${\displaystyle R}$ je rozšířená kategorie kategorií všech pravých ${\displaystyle R}$-modulů a znění Jonedova lemmatu se redukuje na známý isomorfismus:

${\displaystyle M\cong \mathrm {Hom} _{R}(R,M)}$    pro všechny pravé ${\displaystyle R}$-moduly ${\displaystyle M}$.

Vztah ke Cayleyově větě

Jak bylo uvedeno výše, Jonedovo lemma může být považováno za značné zobecnění Cayleyovy věty z teorie grup. Aby to bylo zřejmé, nechť je ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ kategorie s jediným objektem ${\displaystyle *}$ s tím, že každý morfismus je izomorfismus (tj. grupoid s jediným objektem). Pak ${\displaystyle G=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$ tvoří grupu pod operací skládání a jakoukoli grupu lze tímto způsobem realizovat jako kategorii.

V tomto kontextu kovariantní funktor ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$ sestává z množiny ${\displaystyle X}$ a grupového homomorfismu ${\displaystyle G\to \mathrm {S} _{|X|}}$, kde ${\displaystyle \mathrm {S} _{|X|}}$ je grupa permutací ${\displaystyle X}$; čili ${\displaystyle X}$ je G-sada . Přirozená transformace mezi takovými funktory je to samé jako ekvivariantní zobrazení mezi ${\displaystyle G}$-sadami: množinová funkce ${\displaystyle \alpha \colon X\to Y}$ s tou vlastností, že ${\displaystyle \alpha (g\cdot x)=g\cdot \alpha (x)}$ pro všechna ${\displaystyle g}$ v ${\displaystyle G}$ a ${\displaystyle x}$ v ${\displaystyle X}$. (Na levé straně rovnice ${\displaystyle \cdot }$ označuje akci ${\displaystyle G}$ na ${\displaystyle X}$ a na pravé straně akci na ${\displaystyle Y}$.)

Nyní, kovariantní hom-funktor ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$ odpovídá akci ${\displaystyle G}$ na sobě samé podle násobení vlevo (kontravariantní verze odpovídá násobení vpravo). Jonedovo lemma pro ${\displaystyle F=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$ říká, že

${\displaystyle \mathrm {Nat} (\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-),\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-))\cong \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$ ,

to jest, ekvivariantní zobrazení z této ${\displaystyle G}$-sady na sebe jsou v bijekci s ${\displaystyle G}$. Jde si však povšimnout, že a) tyto mapy tvoří grupu podle skládání, což je podgrupa ${\displaystyle \mathrm {S} _{|G|}}$ a b) funkce, která tuto bijekci určuje, je grupový homomorfismus. (V opačném směru každé ${\displaystyle g}$ v ${\displaystyle G}$ odpovídá ekvivariantnímu zobrazení násobení vpravo podle ${\displaystyle g}$.) Takže ${\displaystyle G}$ je izomorfní k nějaké podgrupě ${\displaystyle \mathrm {S} _{|G|}}$, což je přesné znění Cayleyovy věty.

Historie

Jošiki Kinošita v roce 1996 řekl, že termín “Jonedovo lemma” byl vytvořen Saundersem Mac Lanem po jeho rozhovoru s Jonedou. ^[4]

Související články

• Reprezentační věta

Poznámky

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Yoneda lemma na anglické Wikipedii.

• Yoneda lemma na nLab

Externí odkazy

• Důkaz v systému Mizar: http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf^{[nedostupný zdroj]}