Lineární aproximace

Lineární aproximace funkce. Modrá funkce je funkce, se kterou chceme pracovat, ale je komplikovaná. Červená je její lineární aproximace v nule. Je jednodušší, ale je blízko k modré funkci jenom v okolí počátku.

Lineární aproximace je metoda lokálního nahrazení funkčního předpisu funkce jeho přibližným vyjádřením pomocí lineární funkce. Účelem je snížení výpočetní náročnosti. Protože se jedná o aproximaci, je toto zjednodušení na úkor přesnosti. Používá se při numerických výpočtech i při analytickém řešení úloh.

Například kmity matematického kyvadla jsou popsány diferenciální rovnicí φ ¨ + g l sin ⁡ φ = 0 {\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\sin \varphi =0} , jejíž řešení nelze vyjádřit v analytickém tvaru. Při použití lineární aproximace pro malé výchylky se rovnice redukuje na φ ¨ + g l φ = 0 {\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0} , jejíž řešení je možno napsat pomocí goniometrických funkcí a je tak možné pracovat s analytickým tvarem řešení, toto řešení je však platné pouze pro malé výchylky.

Vzorce pro lineární aproximaci

Aby bylo možné následující aproximace použít, musí být funkce dostatečně hladká v bodě, v jehož okolí je aproximována. Matematicky medota vychází z Taylorova polynomu, který je možné použít i pro odhad chyby aproximace.

  • Funkce f ( x ) {\displaystyle f(x)} jedné proměnné má v bodě x 0 {\displaystyle x_{0}} lineární aproximaci f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) , {\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),} kde f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} je derivace funkce f ( x ) {\displaystyle f(x)} vypočtená v bodě x 0 . {\displaystyle x_{0}.}
  • Funkce f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} dvou proměnných má v bodě ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} lineární aproximaci f ( x , y ) ≈ f ( x 0 , y 0 ) + f x ′ ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ′ ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) , {\displaystyle f(x,y)\approx f(x_{0},y_{0})+f'_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f'_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}),} kde f x ′ ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle f'_{x}(x_{0},y_{0})} a f y ′ ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle f'_{y}(x_{0},y_{0})} jsou parciální derivace funkce f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} vypočtené v bodě ( x 0 , y 0 ) . {\displaystyle (x_{0},y_{0}).} Toto je možné zapsat pomocí gradientu ∇ f ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \nabla f(x_{0},y_{0})} a skalárního součinu ve dvoučlenném tvaru

f ( x , y ) ≈ f ( x 0 , y 0 ) + ∇ f ( x 0 , y 0 ) ⋅ ( x − x 0 , y − y 0 ) . {\displaystyle f(x,y)\approx f(x_{0},y_{0})+\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot (x-x_{0},y-y_{0}).}

  • Vektorová funkce F ( x , y ) = ( P ( x , y ) , Q ( x , y ) ) {\displaystyle F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))} dvou proměnných má v bodě ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} lineární aproximaci F ( x , y ) ≈ F ( x 0 , y 0 ) + J ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 y − y 0 ) , {\displaystyle F(x,y)\approx F(x_{0},y_{0})+J(x_{0},y_{0}){\begin{pmatrix}x-x_{0}\\y-y_{0}\end{pmatrix}},} kde J ( x 0 , y 0 ) = ( ∂ P ∂ x ( x 0 , y 0 ) ∂ P ∂ y ( x 0 , y 0 ) ∂ Q ∂ x ( x 0 , y 0 ) ∂ Q ∂ x ( x 0 , y 0 ) ) {\displaystyle J(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})&{\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\\{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})&{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})\end{pmatrix}}} je Jacobiho matice funkce F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} vypočtená v bodě ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} a součin Jacobiho matice s sloupcovým vektorem na pravé straně chápeme jako maticový součin.

Analogicky je možno napsat aproximaci funkce libovolného počtu proměnných.

Nejběžnější lineární aproximace

Všechny následující aproximace platí v okolí nuly a jsou přímými důsledky vzorce pro lineární aproximaci funkce jedné proměnné.

sin ⁡ x ≈ x cos ⁡ x ≈ 1 1 ± x ≈ 1 ± 1 2 x 1 1 ± x ≈ 1 ∓ 1 2 x ( 1 ± x ) n ≈ 1 ± n x {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&\approx x\\\\\cos x&\approx 1\\\\{\sqrt {1\pm x}}&\approx 1\pm {\frac {1}{2}}x\\\\{\frac {1}{\sqrt {1\pm x}}}&\approx 1\mp {\frac {1}{2}}x\\\\(1\pm x)^{n}&\approx 1\pm nx\end{aligned}}}

Využití lineární aproximace

  • Lineární aproximace umožňuje redukovat přesný (ale komplikovaný a nelineární) relativistický vzorec pro kinetickou energii na jednoduchou kvadratickou závislost kinetické energie na rychlosti podle Newtonovské fyziky. V tomto případě používáme lineární aproximaci pro Lorentzův faktor. Ten má s využitím přibližného vzorce 1 1 − x ≈ 1 + 1 2 x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}\approx 1+{\frac {1}{2}}x} pro x = v 2 c 2 {\displaystyle x={\frac {v^{2}}{c^{2}}}} aproximaci γ = 1 1 − v 2 c 2 ≈ 1 + 1 2 v 2 c 2 . {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\approx 1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}.} Graficky je tato aproximace zachycena v úvodním obrázku pro Lorentzův faktor snížený o jedničku, což dává při použití přímo člen vyjařující kinetickou energii.
  • Pokud je funkční hodnota v bodě aproximace nulová, redukuje se lineární aproximace na přímou úměrnost. Proto jsou konstitutivní zákony vyjadřovány pomocí přímé úměrnosti. V případě konstitutivního zákona mezi dvěma vektorovými veličinami je úměrnost vyjádřena Jacobiho maticí, tj. tenzorem druhého řádu. V tomto kontextu se matice z lineární aproximace často nazývá difuzní matice.

Odkazy

Související články

Literatura

  • Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Externí odkazy

  • Aproximace ve fyzikálních úlohách, studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku, Martin Kapoun
Autoritní data Editovat na Wikidatech