Převrácená hodnota

V matematice se jako převrácená (neboli reciproká) hodnota čísla x označuje to číslo, které po vynásobení číslem x dává jako výsledek 1. Převrácená hodnota čísla x se označuje jako 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} nebo x − 1 {\displaystyle x^{-1}} . Platí tedy, že x ⋅ x − 1 = 1 {\displaystyle x\cdot x^{-1}=1} .

Nula je jediné číslo, které nemá převrácenou hodnotu v racionálním, reálném ani komplexním oboru. (Komplexní čísla však lze rozšířit o tzv. komplexní nekonečno, které je v takto rozšířeném oboru jednoznačným převráceným číslem k nule.) Všechna ostatní čísla z těchto oborů ji mají, přičemž převrácená hodnota racionálního čísla je racionální číslo, převrácená hodnota reálného čísla je reálné číslo (ale převrácená hodnota celého čísla není číslo celé (s výjimkou ±1), ale číslo racionální).

Převrácenou hodnotu komplexního čísla v algebraickém tvaru z = a + b i {\displaystyle z=a+b\mathrm {i} } lze vyjádřit jako

1 z = 1 a + b i = a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{a+b\mathrm {i} }}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\mathrm {i} } ,

v goniometrickém tvaru

1 z = 1 r ( cos ⁡ ( φ ) + i sin ⁡ ( φ ) ) = 1 r ( cos ⁡ ( − φ ) + i sin ⁡ ( − φ ) ) . {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r\left(\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )\right)}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+\mathrm {i} \sin(-\varphi )\right).}

V abstraktní algebře je převrácená hodnota označována jako inverzní prvek vzhledem k násobení, jedná se o speciální případ inverzního prvku.

Aplikace

Mnoho prakticky použitelných odvozených veličin (nejen fyzikálních) je definováno jako převrácené hodnoty jiných veličin. Jejich jednotky pak mají v dané soustavě veličin rozměr s rozměrovými exponenty opačného znaménka. Příklady:

  • Frekvence je převrácenou hodnotou periody. Jednotka hertz je proto v soustavě SI rovna reciproké sekundě.
  • Veličina poddajnost je definována jako převrácená hodnota tuhosti pružné soustavy.
  • Vzájemně reciprokými jsou elektrický odpor a elektrická vodivost.

Platí to i pro některé důležité fyzikální konstanty, např.:

  • kvantum magnetického toku Φ 0 {\displaystyle \varPhi _{0}} je převrácenou hodnotou Josephsonovy konstanty K J {\displaystyle K_{\mathrm {J} }} a má tedy jak hodnotu vyjádřenou převráceným číslem, tak definici vyjádřenou převráceným zlomkem zahrnujícím elementární náboj e {\displaystyle e} a Planckovu konstantu h {\displaystyle h} (třebaže jednotky jsou jiné, ale respektující převrácený rozměr veličiny):
    Φ 0 = h / ( 2 e ) {\displaystyle \varPhi _{0}=h/(2e)\,} = 2,067 833 848…×10−15 Wb,
    K J = 2 e / h {\displaystyle K_{\mathrm {J} }=2e/h\,} = 483 597,848 4…×109 Hz·V−1, a tedy
    2,067 833 848…×10−15 = (483 597,848 4…×109)−1.

Související články