Projekce (lineární algebra)

V lineární algebře a funkcionální analýze je projekce lineární transformace ${\displaystyle P}$ nějakého vektorového prostoru na sebe taková, že ${\displaystyle P^{2}=P}$ . To znamená, že pokud ${\displaystyle P}$ aplikujeme na jakoukoli hodnotu opakovaně, výsledek je stejný, jako kdybychom ji použili jen jednou (je to idempotentní zobrazení, které nemění prostor svých obrazů).^[1] Tato definice formalizuje a zobecňuje myšlenku geometrické projekce.

Definice

Projekce na vektorovém prostoru ${\displaystyle V}$ je lineární operátor ${\displaystyle P:V\mapsto V}$ takový, že ${\displaystyle P^{2}=P}$.

Pokud ${\displaystyle V}$ má skalární součin a je úplný (tj. když ${\displaystyle V}$ je Hilbertův prostor), lze použít pojem ortogonality. Projekce ${\displaystyle P}$ na Hilbertově prostoru ${\displaystyle V}$ se nazývá ortogonální projekce, pokud platí ${\displaystyle \langle Px,y\rangle =\langle x,Py\rangle }$ pro všechny ${\displaystyle x,y\in V}$. Projekce na Hilbertově prostoru, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekce.

Projekční matice

• V konečnědimenzionálním případě se čtvercová matice ${\displaystyle P}$ nazývá projekční matice, pokud se rovná svému čtverci, tzn ${\displaystyle P^{2}=P}$. ^{[2]:s.p. 38}
• Čtvercová matice ${\displaystyle P}$ se nazývá ortogonální projekční matice, pokud ${\displaystyle P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }}$ pro reálnou matici, resp ${\displaystyle P^{2}=P=P^{\mathrm {H} }}$ pro komplexní matici, kde ${\displaystyle P^{\mathrm {T} }}$ označuje transponování ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle P^{\mathrm {H} }}$ označuje hermitovsky sdruženou matici k ${\displaystyle P}$.^{[3] :s.p. 223}
• Projekční matice, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekční matice .

Vlastní hodnoty projekční matice musí být 0 nebo 1.

Příklady

Ortogonální projekce

Například funkce, která mapuje bod ${\displaystyle (x,y,z)}$ v trojrozměrném prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ do bodu ${\displaystyle (x,y,0)}$, je ortogonální projekce na rovinu určenou souřadnými osami x a y . Tato funkce je reprezentována maticí

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Akce této matice na obecný vektor je

${\displaystyle P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}.}$

Že ${\displaystyle P}$ je skutečně projekce, tj. ${\displaystyle P=P^{2}}$, dokážeme takto:

${\displaystyle P^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}$.

Jelikož ${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P}$, tak tato projekce je ortogonální.

Šikmá projekce

Jednoduchý příklad neortogonální (šikmé) projekce je

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}$

Prostřednictvím násobení matic vidíme

${\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.}$

To dokazuje, že ${\displaystyle P}$ je opravdu projekce.

Projekce ${\displaystyle P}$ je ortogonální tehdy a jen tehdy, jestliže ${\displaystyle \alpha =0}$, protože teprve potom ${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P}$ .

Vlastnosti a klasifikace

Idempotence

Podle definice je každá projekce ${\displaystyle P}$ idempotent (tj ${\displaystyle P^{2}=P}$ ).

Komplementarita oboru hodnot a jádra

Nechť ${\displaystyle W}$ je konečnorozměrný vektorový prostor a ${\displaystyle P}$ projekce na ${\displaystyle W}$. Předpokládejme, že podprostory ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ jsou obraz a jádro ${\displaystyle P}$. Pak ${\displaystyle P}$ má následující vlastnosti:

1. ${\displaystyle P}$ je operátor identity ${\displaystyle I}$ na ${\displaystyle U}$

   ${\displaystyle \forall x\in U:Px=x}$ .

2. Lze psát ${\displaystyle W=U\oplus V}$, tj. každý vektor ${\displaystyle x\in W}$ může být jedinečně rozložen jako ${\displaystyle x=u+v}$, přičemž ${\displaystyle u=Px}$ a ${\displaystyle v=x-Px=(I-P)x}$, a ${\displaystyle u\in U,v\in V}$.

Obraz a jádro projekce jsou komplementární stejně jako jsou komplementární operátory ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle Q=I-P}$ . Operátor ${\displaystyle Q}$ je také projekce, jejíž obraz je jádro ${\displaystyle P}$, a jeho jádro naopak obrazem ${\displaystyle Q}$.

Spektrum

I ve vektorových prostorech nekonečné dimenzí (stejně jako u konečné dimenze) je spektrum projekce obsaženo v množině ${\displaystyle \{0,1\}}$, jelikož

${\displaystyle (\lambda I-P)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P.}$

Pouze 0 nebo 1 může být vlastním číslem projekce, což značí, že ${\displaystyle P}$ je vždy pozitivně semi-definitivní operátor/matice. Odpovídající vlastní prostory jsou jádrem a obrazem projekce. Rozklad vektorového prostoru na přímé součty není obecně jedinečný. Proto k podprostoru ${\displaystyle V}$ může existovat mnoho různých projekcí, jejichž obraz (nebo jádro) je ${\displaystyle V}$ .

Pokud je projekce netriviální, má minimální polynom ${\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)}$, který má různé kořeny, a tedy ${\displaystyle P}$ je diagonalizovatelná.

Součin projekcí

Součin projekcí není sám obecně projekcí, i když jde o součin ortogonálních projekcí. Pokud projekce komutují, je jejich součin projekcí.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Projection (linear algebra) na anglické Wikipedii.