Stupeň vrcholu

V teorii grafů se pojmem stupeň vrcholu (někdy též valence vrcholu) označuje počet hran, které do daného vrcholu zasahují. Stupeň vrcholu u se značí deg(u). Přesnější definice závisí na tom, zda je graf orientovaný nebo neorientovaný.

Neorientovaný graf

Neorientovaný graf s 6 vrcholy označenými jejich stupněm
d e g ( u ) = | { e ∈ E ∣ u ∈ e } | {\displaystyle deg(u)=\left|\{e\in {\mathit {E}}\mid u\in e\;\}\right|}

U neorientovaného grafu je stupeň vrcholu počet hran, které do daného vrcholu zasahují. Koncové body smyčky tvoří tentýž vrchol, proto se tato hrana počítá dvakrát.

Orientovaný graf

Orientovaný graf s 4 vrcholy a 5 hranami

U orientovaného grafu se rozlišuje tzv. vstupní a výstupní stupeň vrcholu:

  • vstupní stupeň
d e g + ( u ) = | { e ∈ E ∣ ∃ v ∈ V : e = ( v , u ) } | {\displaystyle deg^{+}(u)=\left|\{e\in {\mathit {E}}\mid \exists v\in {\mathit {V}}\;:e=(v,u)\;\}\right|}
  • výstupní stupeň
d e g − ( u ) = | { e ∈ E ∣ ∃ v ∈ V : e = ( u , v ) } | {\displaystyle deg^{-}(u)=\left|\{e\in {\mathit {E}}\mid \exists v\in {\mathit {V}}\;:e=(u,v)\;\}\right|}

U orientovaného grafu jsou hrany orientované, proto se vstupující hrana a vystupující hrany počítají zvlášť. Celkový stupeň uzlu je pak roven součtu vstupujících a vystupujících hran.

Stupně vrcholů z obrázku vpravo:

Vrchol vstupní stupeň výstupní stupeň
1 0 2
2 2 0
3 2 2
4 1 1

Princip sudosti

Tvrzení: V neorientovaném grafu G = (V, E) platí ∑ v ∈ V d e g ( v ) = 2 | E | {\displaystyle \sum _{v\in {\mathit {V}}}deg(v)=2\left|E\right|}

Důkaz: Je to pouze vyjádření faktu, že každou hranu započítáváme dvakrát - jednou ve vrcholu, kde začíná, podruhé ve vrcholu, kde končí.

Poznámka: Pro orientované grafy změníme levou stranu rovnosti v tvrzení na ∑ v ∈ V ( d e g + ( v ) + d e g − ( v ) ) {\displaystyle \sum _{v\in {\mathit {V}}}\left(deg^{+}(v)+deg^{-}(v)\right)}

Důsledek: Počet vrcholů s lichým stupněm je sudé číslo. Neboli „počet lidí, kteří si na večírku potřásli ruce s lichým počtem účastníků, je sudé číslo“.

Související články