Carnot-Wirkungsgrad

Der Carnot-Wirkungsgrad ${\displaystyle \eta _{\text{c}}}$ (griechischer Buchstabe "eta", kleines h), auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie.^[1] Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.^[2]

Berechnung

Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den Kelvin-Temperaturen ${\displaystyle T_{\text{h}}}$ (heiß) und ${\displaystyle T_{\text{k}}}$ (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:^[1]

${\displaystyle \eta _{\text{c}}={\frac {T_{\text{h}}-T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}=1-{\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}}$

Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher ${\displaystyle T_{\text{h}}}$ und je tiefer ${\displaystyle T_{\text{k}}}$ ist. Da ${\displaystyle T_{\text{h}}}$ nach oben und ${\displaystyle T_{\text{k}}}$ nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.

Beispiel

Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800 °C (1073,15 K) und 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:

${\displaystyle \eta _{\text{c}}=1-{\frac {373{,}15}{1073{,}15}}=0{,}652=65{,}2\ \%}$

Theoretische Grundlage

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme ${\displaystyle Q_{\text{h}}}$ aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur ${\displaystyle T_{\text{h}}}$ und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit ${\displaystyle W}$ (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme ${\displaystyle Q_{\text{k}}}$ in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur ${\displaystyle T_{\text{k}}}$. Der Wirkungsgrad ${\displaystyle \eta }$ der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:^[3]

${\displaystyle \eta ={\frac {W}{Q_{\text{h}}}}}$

Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie ${\displaystyle S_{\text{h}}={\frac {Q_{\text{h}}}{T_{\text{h}}}}}$ auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie ${\displaystyle S_{\text{k}}={\frac {Q_{\text{k}}}{T_{\text{k}}}}}$ auf das kalte Reservoir übertragen.

Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:

${\displaystyle S_{\text{k}}\geq S_{\text{h}}}$.

Entsprechend gilt für die Wärme:

${\displaystyle \Rightarrow Q_{\text{k}}\geq Q_{\text{h}}\,{\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}}$

Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist

${\displaystyle Q_{\text{k}}=Q_{\text{h}}-W}$,

so folgt für die Nutzarbeit:

${\displaystyle \Rightarrow W\leq Q_{\text{h}}\left(1-{\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}\right)}$

und entsprechend für den Wirkungsgrad:

${\displaystyle \eta \leq \eta _{\text{c}}}$.

In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.

Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen

In Wärmepumpen und Kältemaschinen wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:

• Wärmepumpe: ${\displaystyle W_{\text{el}}>\left(1-{\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}\right)\,Q_{\text{h}}}$
• Kältemaschine: ${\displaystyle W_{\text{el}}>\left({\frac {T_{\text{h}}}{T_{\text{k}}}}-1\right)\,Q_{\text{k}}}$.

Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen ${\displaystyle \epsilon }$ beschrieben.

Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme ${\displaystyle Q_{\text{h}}}$ genutzt:

${\displaystyle \epsilon _{\text{WP}}={\frac {Q_{\text{h}}}{W_{\text{el}}}}<\epsilon _{\text{WP,c}}}$

mit

${\displaystyle \epsilon _{\text{WP,c}}={\frac {1}{\eta _{c}}}={\frac {T_{\text{h}}}{T_{\text{h}}-T_{\text{k}}}}>1}$.

Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme ${\displaystyle Q_{\text{k}}}$ die Nutzgröße:

${\displaystyle \epsilon _{\text{KM}}={\frac {Q_{\text{k}}}{W_{\text{el}}}}<\epsilon _{\text{KM,c}}}$

mit:

${\displaystyle \epsilon _{\text{KM,c}}={\frac {1}{\eta _{\text{c}}}}-1={\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}-T_{\text{k}}}}}$.

Weblinks

• Interaktive Berechnung des Carnot-Wirkungsgrads. In: GeoGebra. Abgerufen am 31. August 2021 

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Jürgen U. Keller: Technische Thermodynamik in Beispielen / Grundlagen. Walter de Gruyter, 2011, ISBN 978-3-11-084335-4, S. 188 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
2. ↑ Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-662-58281-7, S. 621 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
3. ↑ Freund, Hans-Joachim.: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6., vollst. überarb. u. aktualis. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0.