Elitäre Primzahl

In der Zahlentheorie wird eine Primzahl p {\displaystyle p} elitär genannt, wenn nur endlich viele Fermat-Zahlen F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} quadratische Reste modulo p {\displaystyle p} sind.

Ihren Namen verdanken sie dem österreichischen Mathematiker Alexander Aigner, der sie 1986 beschrieb und als erster untersuchte.[1] Aigner nannte diese Primzahlen elitär, da sie nur sehr selten auftauchen; er selbst fand lediglich 14 solche Primzahlen, die kleiner als 35.000.000 sind.

Da Fermat-Zahlen die Beziehung F n + 1 = ( F n − 1 ) 2 + 1 {\displaystyle F_{n+1}=(F_{n}-1)^{2}+1} erfüllen, wird die Kongruenzfolge ( F n {\displaystyle F_{n}} mod p {\displaystyle p} ) ab einem bestimmten Index s {\displaystyle s} periodisch, d. h., es existiert eine minimale natürliche Zahl L {\displaystyle L} derart, dass F s + k + L ≡ F s + k {\displaystyle F_{s+k+L}\equiv F_{s+k}} (mod p {\displaystyle p} ) für alle natürlichen Zahlen k {\displaystyle k} gilt. Die Terme F s , F s + 1 , … , F s + L − 1 {\displaystyle F_{s},F_{s+1},\ldots ,F_{s+L-1}} werden als Fermat-Reste von p {\displaystyle p} bezeichnet. Demnach ist eine Primzahl p {\displaystyle p} genau dann elitär, wenn alle Fermat-Reste quadratische Nichtreste modulo p {\displaystyle p} sind.

Die ersten elitären Primzahlen sind: 3, 5, 7, 41, 15.361, 23.041, 26.881, 61.441, 87.041, 163.841, … (Folge A102742 in OEIS)

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele elitäre Primzahlen gibt. Es konnte jedoch nachgewiesen werden, dass die Anzahl C ( x ) {\displaystyle C(x)} aller elitärer Primzahlen ≤ x {\displaystyle \leq x} die Abschätzung

C ( x ) = O ( x ln 2 ⁡ ( x ) ) {\displaystyle C(x)=O\left({\frac {x}{\ln ^{2}(x)}}\right)}

erfüllt.[2]

Einzelnachweise

  1. ↑ A. Aigner: Über Primzahlen, nach denen (fast) alle Fermatzahlen quadratische Nichtreste sind. In: Monatshefte Mathematik. 101, 1986, S. 85–93.
  2. ↑ Krizek et al.: On the convergence of series of reciprocals of prims related to the Fermat numbers. In: Journal of Number Theory. 97, 2002, S. 95–112.
  • Alain Chaumont, Tom Müller: All Elite Primes Up to 250 Billion. In: Journal of Integer Sequences. Band 9, Nr. 06.3.8, 2006 (cs.uwaterloo.ca [PDF]). 
V – D
Primzahl­mengen
formelbasiert

Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1)

Primzahlfolgen

Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin

eigenschaftsbasiert

Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson

basis­abhängig

Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular

basierend auf Tupel

Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)

nach Größe

Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)