Gâteaux-Differential

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Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889–1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} ,\ G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ offene Menge, die an der Stelle ${\displaystyle x_{0}\in G}$ differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0,1},x_{0,2},\ldots ,x_{0,i}+h,\ldots ,x_{0,n})-f(x_{0})}{h}},\ \ (i={1,2,...,n})}$.

Insbesondere ergibt sich für ${\displaystyle n=1}$ das bekannte Differential

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$.

Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Definitionen

Weierstraßsche Zerlegungsformel

Sei ${\displaystyle f\colon D\subset X\to Y}$ mit ${\displaystyle D}$ offen und ${\displaystyle X,Y}$ normierte Räume. Dann heißt ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}\in D}$ Gâteaux-differenzierbar, falls die weierstraßsche Zerlegungsformel gilt, also falls eine lineare Funktion ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ existiert, sodass

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}[f(x_{0}+th)-f(x_{0})-tAh]=0}$

für alle ${\displaystyle h\in X}$ mit ${\displaystyle \lVert h\rVert =1}$. Dies ist äquivalent zu

${\displaystyle f(x_{0}+th)-f(x_{0})=tAh+o(|t|)}$.

Dann bezeichnet man ${\displaystyle A=:f'(x_{0})}$ als die Gâteaux-Ableitung von ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle x_{0}}$.

1. Variation; Variationsableitung

Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich ${\displaystyle f\colon D(f)\to \mathbb {R} }$ ein in ${\displaystyle D(f)\subseteq \Omega }$ definiertes Funktional; ${\displaystyle \Omega }$ sei ein linearer normierter Raum (das heißt ein Vektorraum, versehen mit einer Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei ${\displaystyle x_{0}\in D(f)}$ und ${\displaystyle v\in \Omega }$. Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ in Richtung ${\displaystyle v}$, falls es existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle \delta f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}=\left.{\frac {\mathrm {d} f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)}{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}}$

oder auch für ${\displaystyle x_{1}\in D(f)}$ durch

${\displaystyle \delta f(x_{0},x_{1}-x_{0})=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot (x_{1}-x_{0}))-f(x_{0})}{\varepsilon }}\,.\,}$

Man beachte dabei ${\displaystyle x_{0}\in D(f)}$, ${\displaystyle v\in \Omega }$ und ebenfalls ${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$ darin, aber ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$.

Die Gâteaux-Ableitung nach ${\displaystyle \varepsilon }$ ist bezüglich der Größe ${\displaystyle h:=x_{1}-x_{0}}$ ein Funktional, das auch als 1. Variation von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ bezeichnet wird.

Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen. Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblicherweise mit dem Buchstaben ${\displaystyle I}$ bezeichnet, und statt der Größe ${\displaystyle h:=x_{1}-x_{0}}$ schreibt man meist ${\displaystyle \delta q(x)}$, mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {dI(x+\varepsilon \cdot h)}{d\varepsilon }}_{\,|\varepsilon =0}}$ führt man in einem Zusatzschritt die Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.

Beispiel

Für

${\displaystyle f(\varepsilon ):=\int \,{\rm {d}}t\,{\mathcal {L}}\left(t,q(t)+\varepsilon \cdot \delta q(t),{\dot {q}}(t)+\varepsilon \cdot {\frac {{\rm {d}}(\delta q(t))}{{\rm {d}}t}}\right)}$

erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form ${\displaystyle \textstyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}\varepsilon }}(\varepsilon \to 0)\,=\,\int \,{\rm {d}}t\,{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta q(t)}}\cdot \delta q(t)}$ mit der Variationsableitung

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta q(t)}}\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q(t)}}-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}(t)}}\,.}$

(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}}$ einer Funktion von n Variablen, also zum Beispiel für den fiktiven Fall ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{n})}$. So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier ${\displaystyle \delta f}$, das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)

Im Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene“ Buchstaben verzichtet.

2. Variation

${\displaystyle \delta ^{2}f(x_{0},v)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)}{\mathrm {d} \varepsilon ^{2}}}\right|_{\varepsilon =0}}$

Halbseitiges Differential und Richtungsableitung

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential durch

${\displaystyle \delta _{+}f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}}$

beziehungsweise durch

${\displaystyle \delta _{-}f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}}$

definiert. Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ genannt. Für die zum Vektor ${\displaystyle v}$ gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen“ das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von ${\displaystyle f}$ in Richtung ${\displaystyle v}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$.

Gâteaux-Ableitung

Ist ${\displaystyle \delta f(x_{0},v)}$ ein in ${\displaystyle v}$ stetiges lineares Funktional (d. h. die Funktion vermittelt durch ${\displaystyle v\mapsto \delta f(x_{0},v)}$ ist homogen, additiv und stetig im Argument ${\displaystyle v}$), dann heißt ${\displaystyle f'(x_{0})}$ Gâteaux-Ableitung an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle f}$ Gâteaux-differenzierbar in ${\displaystyle x_{0}}$.

Eigenschaften der 1. Variation

• Das Gâteaux-Differential ist homogen, das bedeutet
  
  ${\displaystyle \delta f(x_{0},k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_{0},v)}$
  
  für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$. Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.

• Das Gâteaux-Differential ist eine lineare Operation, es gilt also
  
  ${\displaystyle \delta (f_{1}+f_{2})(x_{0},v)=\delta f_{1}(x_{0},v)+\delta f_{2}(x_{0},v).}$
  
  und
  
  ${\displaystyle k\cdot \delta f(x_{0},v)=\delta (k\cdot f)(x_{0},v).}$
  
  für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$

Beispiele

1. ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=1}$, falls ${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{2}}$, ${\displaystyle x_{1}\neq 0}$ bzw. ${\displaystyle 0}$ sonst ${\displaystyle \delta f((0,0),v)=\lim _{t\to 0}{\frac {0-0}{t}}=0}$.
2. ${\displaystyle f(x)=|x|,\ x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta _{+}f(0,v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {|0+\varepsilon \cdot v|-0}{\varepsilon }}=|v|}$
3. ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}\left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right)}$ für ${\displaystyle x_{2}\neq 0}$ und ${\displaystyle -{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}}$ für ${\displaystyle x_{2}=0}$, ${\displaystyle \nabla f(x_{1},x_{2})=\left(2\cdot x_{1}\cdot \left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right),-{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}\right)^{T}}$

${\displaystyle \delta f((0,0),v)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {(\varepsilon \cdot v_{1})^{2}\cdot \left(1+{\frac {1}{\varepsilon \cdot v_{2}}}\right)}{\varepsilon }}={\frac {v_{1}^{2}}{v_{2}}}}$ (wobei ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2})^{T}}$)

Anwendungen

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,\ X\subset D(f)\subset \Omega }$ offen, ${\displaystyle \Omega }$ linearer normierter Raum, ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {int} (X)}$ (das Innere der Menge ${\displaystyle X}$), ${\displaystyle \operatorname {int} (X)\neq \emptyset }$ und ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x_{0})}$ der offene Ball um ${\displaystyle x_{0}}$ mit Radius ${\displaystyle \varepsilon }$. Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei ${\displaystyle x_{0}}$ ein lokales Minimum von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle X}$, dann ist ${\displaystyle \delta _{+}f(x_{0},v)\geq 0\ \forall v\in \Omega }$, falls das einseitige Gâteaux-Differential in ${\displaystyle x_{0}}$ existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: ${\displaystyle f}$ besitze in ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x_{0})}$ eine 2. Variation ${\displaystyle \forall v\in \Omega }$ und ${\displaystyle \forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})}$. Falls gilt ${\displaystyle \delta f(x_{0},v)=0\ \forall v\in \Omega }$ und für ein ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \delta ^{2}f(x_{0},v)\geq c\cdot \|v\|^{2}\ \forall v\in \Omega }$ und ${\displaystyle \forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})}$, dann ist ${\displaystyle x_{0}}$ strenge lokale Minimalstelle von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle \operatorname {int} (X)}$.

Siehe auch

• Fréchet-Ableitung