Satz von Paley-Wiener

Der Satz von Paley-Wiener, benannt nach Raymond Paley und Norbert Wiener, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die Fourier-Laplace-Transformationen glatter Funktionen mit kompaktem Träger bzw. temperierter Distributionen mit kompaktem Träger mittels Wachstumsbedingungen.

Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ eine integrierbare Funktion, so kann man bekanntlich die Fourier-Transformierte

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-\mathrm {i} \langle \xi ,x\rangle }\mathrm {d} x}$

bilden, wobei ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \langle \xi ,x\rangle }$ das Skalarprodukt der Vektoren ${\displaystyle \xi ,x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ist. Diese Formel ist auch für komplexe Vektoren ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} ^{n}}$ sinnvoll. Man nennt

${\displaystyle F_{f}\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\,F_{f}(\zeta ):=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-\mathrm {i} \langle \zeta ,x\rangle }\mathrm {d} x}$

die Fourier-Laplace-Transformierte von ${\displaystyle f}$. Durch Dualisierung kann man diese Begriffsbildung auf Distributionen mit kompaktem Träger ausdehnen. Ist ${\displaystyle T}$ eine temperierte Distribution, so ist durch

${\displaystyle {\hat {T}}(\xi ):=(2\pi )^{-n/2}\,T(x\mapsto e^{-\mathrm {i} \langle \xi ,x\rangle })}$

die Fourier-Transformierte definiert. Dazu ist nur zu beachten, dass ${\displaystyle x\mapsto e^{-\mathrm {i} \langle \xi ,x\rangle }}$ eine glatte Funktion ist und dass die Distributionen mit kompaktem Träger genau die stetigen, linearen Funktionale auf dem Raum der glatten Funktionen sind. Obige Formel lässt sich offensichtlich auch für ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} ^{n}}$ schreiben und man nennt

${\displaystyle F_{T}(\zeta ):=(2\pi )^{-n/2}\,T(x\mapsto e^{-\mathrm {i} \langle \zeta ,x\rangle })}$

wieder die Fourier-Laplace-Transformierte von ${\displaystyle T}$.

Die Fourier-Laplace-Transformierten sind holomorphe Funktionen ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$ und es stellt sich die Frage, welche holomorphen Funktionen hier als Fourier-Laplace-Transformationen auftreten können. Genau diese Frage beantwortet der Satz von Paley-Wiener.^[1][2]

Eine holomorphe Funktion ${\displaystyle F\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$ ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit Träger in der Kugel ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}|\,\|x\|\leq B\}}$, wenn es zu jedem ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ eine reelle Konstante ${\displaystyle C_{N}>0}$ gibt, so dass

${\displaystyle |F(\zeta )|\leq C_{N}(1+\|\zeta \|)^{-N}e^{B\|\mathrm {Im} \zeta \|}}$

für alle ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} ^{n}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \mathrm {Im} \zeta }$ der reelle Vektor der Imaginärteile der Komponenten des Vektors ${\displaystyle \zeta }$.

Eine holomorphe Funktion ${\displaystyle F\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$ ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer Distribution mit Träger in der Kugel ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}|\,\|x\|\leq B\}}$, wenn es Konstanten ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle C>0}$ gibt, so dass

${\displaystyle |F(\zeta )|\leq C(1+\|\zeta \|)^{N}e^{B\|\mathrm {Im} \zeta \|}}$

für alle ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} ^{n}}$.

Die Bedingung im Satz für Funktionen ist restriktiver als die Bedingung im Satz für Distributionen. Das ist nicht verwunderlich, denn jede glatte Funktionen ${\displaystyle f}$ mit kompaktem Träger definiert mittels ${\displaystyle \textstyle T_{f}(g):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\mathrm {d} x}$ eine Distribution ${\displaystyle T_{f}}$ mit kompakten Träger, der im Träger von ${\displaystyle f}$ liegt, und für die Fourier-Laplace-Transformationen gilt

${\displaystyle F_{T_{f}}(\zeta )=(2\pi )^{-n/2}\,T_{f}(x\mapsto e^{-\mathrm {i} \langle \zeta ,x\rangle })=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-\mathrm {i} \langle \zeta ,x\rangle }\mathrm {d} x=F_{f}(\zeta )}$,

das heißt die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit kompaktem Träger ist auch die Fourier-Laplace-Transformierte der durch sie definierten Distribution mit kompaktem Träger.

Die Sätze von Paley-Wiener sollen anhand von zwei Beispielen erläutert werden.

Sei zunächst ${\displaystyle f(x):=e^{-x^{2}}}$. Die Fourier-Laplace-Transformierte ist

${\displaystyle F_{f}(\zeta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {1}{4}}\zeta ^{2}}}$.

Ist ${\displaystyle \zeta =\xi +\mathrm {i} \eta }$ die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so ist ${\displaystyle \zeta ^{2}=\xi ^{2}+2\mathrm {i} \eta \xi -\eta ^{2}}$, das heißt ${\displaystyle F_{f}}$ wächst für festen Realteil wie ${\displaystyle e^{{\frac {1}{4}}\eta ^{2}}}$, jedenfalls schneller als ${\displaystyle e^{B|\eta |}=e^{B|\mathrm {Im} \zeta |}}$ für jede Konstante ${\displaystyle B>0}$. Dies spiegelt gemäß obiger Sätze die Tatsache wider, dass ${\displaystyle f}$ keinen kompakten Träger hat.

Sei nun ${\displaystyle T}$ die Distribution ${\displaystyle \textstyle T(\varphi ):=\int _{[-1,1]}\varphi (x)\mathrm {d} x}$. Eine kurze Rechnung zeigt

${\displaystyle F_{T}(\zeta )=(2\pi )^{-1/2}\int _{[-1,1]}e^{-\mathrm {i} x\zeta }\mathrm {d} x=\ldots ={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sin(\zeta )}{\zeta }}}$,

wobei für ${\displaystyle \zeta =0}$ stetig zu ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$ fortgesetzt wird. Ist ${\displaystyle \zeta =\xi +\mathrm {i} \eta }$ die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so gilt ${\displaystyle \sin(\zeta )=\sin(\xi )\cosh(\eta )+\mathrm {i} \cos(\xi )\sinh(\eta )}$, das heißt ${\displaystyle |{\sin(\zeta )}|}$ lässt sich gegen ${\displaystyle e^{|\eta |}=e^{1\cdot |\mathrm {Im} \zeta |}}$ abschätzen, denn die hyperbolischen Funktionen erlauben eine solche Abschätzung. Daraus folgt, dass ${\displaystyle F_{T}}$ die Wachstumsbedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Distributionen mit ${\displaystyle B=1}$ erfüllt. In der Tat ist ${\displaystyle T}$ eine Distribution mit dem kompakten Träger ${\displaystyle [-1,1]}$. Die holomorphe Funktion ${\displaystyle F_{T}}$ erfüllt aber nicht die Bedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Funktionen, denn gäbe es für ${\displaystyle N=2}$ eine Konstante ${\displaystyle C_{N}}$ wie im Satz, so folgte

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {|{\sin(\zeta )}|}{|\zeta |}}\leq {\frac {C_{2}}{(1+|\zeta |)^{2}}}e^{B|\mathrm {Im} \zeta |}}$.

Speziell für reelle ${\displaystyle \zeta }$ ist der Exponentialterm gleich 1 und es folgte ${\displaystyle \textstyle |{\sin(\zeta )}|\leq C_{2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {|\zeta |}{(1+|\zeta |)^{2}}}}$, und damit würde die Sinusfunktion für große reelle Argumente gegen 0 gehen, was aber bekanntlich nicht der Fall ist. Zwar kommt die Distribution von der charakteristischen Funktion des Intervalls [-1,1] her, und diese hat auch einen kompakten Träger, aber sie ist nicht glatt.

1. ↑ S. R. Simanca: Pseudo-differential Operators, John Wiley & Sons Inc. 1991, ISBN 0-470-21688-3, Theorem 1.2.10
2. ↑ K. Yosida: Functional Analysis, Springer-Verlag 1974, ISBN 0-387-06812-0, Kapitel VI.4, The Paley-Wiener Theorems. The One-sided Laplace Transform