Trigonalisierbare Matrix

Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Für eine trigonalisierbare Matrix ${\displaystyle A}$ existiert also eine reguläre Matrix ${\displaystyle S}$, sodass ${\displaystyle D=S^{-1}AS}$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus ${\displaystyle f\colon V\to V}$ über einen endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$, falls es eine Basis ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle V}$ gibt, sodass die Darstellungsmatrix ${\displaystyle M_{B}(f)}$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix ${\displaystyle S\in K^{n\times n}}$, sodass ${\displaystyle D:=S^{-1}AS}$ eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass ${\displaystyle D}$ die Form

${\displaystyle D=S^{-1}AS={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\ast &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ast \\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\in K^{n\times n}}$

hat, wobei ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\in K}$ Eigenwerte von D sind.

Ein Endomorphismus ${\displaystyle f\colon V\to V}$ über einen endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle V}$ gibt, sodass die Darstellungsmatrix ${\displaystyle M_{B}(f)}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

• Die Matrix ${\displaystyle A}$ ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existieren eine obere Dreiecksmatrix ${\displaystyle D}$ und eine invertierbare Matrix ${\displaystyle P}$ mit ${\displaystyle D=P^{-1}AP}$.
• Das charakteristische Polynom der Matrix ${\displaystyle A}$ zerfällt über dem Körper ${\displaystyle K}$ in Linearfaktoren.
• Das Minimalpolynom der Matrix ${\displaystyle A}$ zerfällt über dem Körper ${\displaystyle K}$ in Linearfaktoren.
• Die Matrix ${\displaystyle A}$ besitzt über dem Körper ${\displaystyle K}$ eine Jordan-Normalform.

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix ${\displaystyle D}$ zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix ${\displaystyle P}$, mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

${\displaystyle D=P^{-1}AP}$

Des Weiteren haben ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle D}$ dieselben Eigenwerte.

Da das charakteristische Polynom von ${\displaystyle A}$ in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{1}}$ und einen zugehörigen Eigenvektor ${\displaystyle v_{1}}$. Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ des ${\displaystyle K^{n}}$ ergänzt. Die Matrix ${\displaystyle T_{1}}$ sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich ${\displaystyle T_{1}^{-1}AT_{1}}$ berechnen und die Form

${\displaystyle T_{1}^{-1}AT_{1}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&d_{1,2}&\cdots &d_{1,n}\\0&&&\\\vdots &&A_{1}&\\0&&&\end{pmatrix}}}$

Für das charakteristische Polynom der ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$-Matrix ${\displaystyle A_{1}}$ gilt ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})p_{A_{1}}}$. Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und ${\displaystyle A_{1}}$ ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man ${\displaystyle A_{n-1}=d_{n,n}}$ berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix ${\displaystyle D}$. Die Matrix ${\displaystyle P}$ ergibt sich als Produkt ${\displaystyle T_{1}T_{2}\dots T_{n-1}}$ der Basiswechselmatrizen.

• Schur-Zerlegung ist ein Beispiel für ein Trigonalisierungsverfahren über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Diagonalisierbare Matrix

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 14. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.