Unverfälschter Test

Ein unverfälschter Test ist ein spezieller statistischer Test in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Unverfälschte Tests zeichnen sich dadurch aus, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler erster Art zu begehen einen gewissen vorgegebenen Wert nicht überschreitet, sie aber gleichzeitig eine kleinere Wahrscheinlichkeit haben, einen Fehler zweiter Art zu begehen als der "triviale Test", der eine rein zufällige Entscheidung auslost.

Definition

Gegeben sei ein Test Φ {\displaystyle \Phi } mit Nullhypothese Θ 0 {\displaystyle \Theta _{0}} und Alternative Θ 1 {\displaystyle \Theta _{1}} . Sei

G Φ ( ϑ ) := E ϑ ⁡ ( Φ ) {\displaystyle G_{\Phi }(\vartheta ):=\operatorname {E} _{\vartheta }(\Phi )}

die Gütefunktion. Dann heißt Φ {\displaystyle \Phi } ein unverfälschter Test zum Niveau α {\displaystyle \alpha } , wenn

G Φ ( ϑ 0 ) ≤ α ≤ G Φ ( ϑ 1 ) f u ¨ r a l l e ϑ 0 ∈ Θ 0  und alle  ϑ 1 ∈ Θ 1 {\displaystyle G_{\Phi }(\vartheta _{0})\leq \alpha \leq G_{\Phi }(\vartheta _{1})\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta _{0}\in \Theta _{0}{\text{ und alle }}\vartheta _{1}\in \Theta _{1}}

gilt. Somit sind die unverfälschten Schätzer zum Niveau α {\displaystyle \alpha } genau die Schätzer zum Niveau α {\displaystyle \alpha } , deren Trennschärfe immer über dem Niveau liegt.

Verwendung

Unverfälschte Tests liefern eine gut begründete Einschränkung der Menge aller Tests zu einem vorgegebenen Niveau. Die Einschränkung auf unverfälschte Tests liefert damit beispielsweise stärkere Existenzaussagen für gleichmäßig beste Tests.

Zentrales Hilfsmittel für das Auffinden von gleichmäßig besten unverfälschten Tests sind die ähnlichen Tests.

Asymptotisch unverfälschte Tests

Eine Abschwächung von unverfälschten Tests sind die asymptotisch unverfälschten Tests. Bei ihnen tritt die Unverfälschtheit erst im Grenzwert bei immer größeren Stichproben auf.[1]

Verwandte Begriffe

Der korrespondierende Begriff für Konfidenzbereiche im Sinne der Dualität von Tests und Konfidenzbereichen sind die unverfälschten Konfidenzbereich.

Weblinks

  • M.S. Nikulin: Unbiased Test. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Literatur

  • Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 
  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 

Einzelnachweise

  1. ↑ O.V. Shalaevskii: Asymptotically-unbiased test. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).