Die Van’t-Hoff-Gleichung oder Van’t-Hoff’sche bzw. van’t-hoffsche Reaktionsisobare (nach Jacobus Henricus van ’t Hoff) beschreibt in der Thermodynamik den Zusammenhang zwischen der Lage des Gleichgewichts einer chemischen Reaktion und der Temperatur (bei konstantem Druck):
![{\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{p}={\frac {\Delta _{r}H^{0}(T)}{RT^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9866f9c1bd6b4a5ae194e580587012b0c71be945)
wobei
die Gleichgewichtskonstante,
die Temperatur,
die molare Standardreaktionsenthalpie als Funktion der Temperatur
(die Standardbedingung Druck
ist erfüllt) und
die allgemeine Gaskonstante ist.
Der Index p steht für den konstanten Druck. Eine andere Formulierung der Van-’t-Hoff-Gleichung für die inverse Temperatur
mit der Boltzmann-Konstante
ist:[1]
![{\displaystyle \left({\frac {\partial \ln K}{\partial \beta }}\right)_{p}=-{\frac {\Delta _{r}H^{0}(\beta )}{N_{\mathrm {A} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ca12f721b4a51ff51efd72d5cd800f3d3a8f17)
wobei
die Avogadro-Konstante ist.
Herleitung
Für die Gleichgewichtskonstante
gilt allgemein:
![{\displaystyle \ln K=-{\frac {\Delta _{r}G^{0}(T)}{RT}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bad830bdb56bb94c1df0927dc590c30358f7b19)
Deren partielle Ableitung nach der Temperatur bei konstantem Druck ergibt somit:
![{\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{p}=+{\frac {\Delta _{r}G^{0}(T)}{RT^{2}}}-{\frac {{\Bigl (}{\frac {\partial \Delta _{r}G^{0}(T)}{\partial T}}{\Bigr )}_{p}}{RT}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b93cfa29993a3c0c1b74cfb86695ad159bf882)
Die Ableitung der molaren, freien Reaktionsenthalpie nach der Temperatur bei konstantem Druck berechnet sich wie folgt:
![{\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial G_{m}^{0}}{\partial T}}{\Bigr )}_{p}=-S_{m}^{0}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bdaf2ed6671ac5d0c7391d97c1ed6a3c6fd4b8)
Mit der Gibbs-Helmholtz-Gleichung
![{\displaystyle \Delta _{r}G^{0}(T)=\Delta _{r}H^{0}(T)-T\Delta _{r}S^{0}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039c6e3fc2d188aeac4f12023eb811e511472272)
ergibt sich:
![{\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{p}={\frac {\Delta _{r}H^{0}(T)-T\Delta _{r}S^{0}(T)+T\Delta _{r}S^{0}(T)}{RT^{2}}}={\frac {\Delta _{r}H^{0}(T)}{RT^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796f62ee160e56d4771041270708626f37fa07c0)
Van’t-Hoff’sche Reaktionsisochore
Hält man das Volumen bei einer Reaktion konstant, so wird die Reaktion durch die Änderung der Standard-Freie Energie
beschrieben. Es ergibt sich die van't-Hoff’sche Reaktionsisochore[2]:
![{\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial \ln K}{\partial T}}{\Bigr )}_{V}={\frac {\Delta _{r}U^{0}}{RT^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba12634967c5bfc0fb5a0afcf729a0ee82a8c7c)
Lösung
Die formale Lösung der Van’t-Hoff-Gleichung lautet
![{\displaystyle K(T)=K(T_{0})\exp \left(\int _{T_{0}}^{T}\mathrm {d} T{\frac {\Delta _{r}H^{0}(T)}{RT^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cea47e99c2e0d2e8fc547841c19d530200389f)
In der ulichschen Näherung geht man von einer – zumindest in einem gewissen Temperaturintervall – konstanten Standardreaktionsenthalpie aus.[3]
Damit ergibt sich:
![{\displaystyle K(T)=K(T_{0})\exp \left(-{\frac {\Delta _{r}H^{0}}{RT}}+{\frac {\Delta _{r}H^{0}}{RT_{0}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71340758c9207fb19f3409c022d8e6df8388736f)
Siehe auch
Weblinks
- Video: VAN´T HOFFsche Reaktionsisobare – wie verändert die Temperatur die Lage des Gleichgewichts?. Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/15667.
Einzelnachweise
- ↑ Peter W. Atkins, Julio de Paula: Physikalische Chemie. 4., vollständig überarbeitete Auflage. Wiley-VCH, 2006, ISBN 3-527-31546-2, S. 237.
- ↑ Herleitung der Van't Hoffschen Reaktionsisochoren - Chemgapedia. Abgerufen am 8. Februar 2019.
- ↑ Ulichsche Näherungen. In: Lexikon der Chemie. Abgerufen am 25. Juli 2014.