Grupo de Prüfer

En matemáticas, y en especial en teoría de grupos, el p-grupo de Prüfer, grupo p-cuasicíclico o el p^∞-grupo, Z(p^∞), para un número primo p es el único p-grupo en el que cada elemento tiene p p-ésimas raíces. El grupo se llama en honor a Heinz Prüfer. Es un grupo abeliano numerable que juega un importante papel en la clasificación de grupos abelianos infinitos.

El p-grupo de Prüfer puede ser representado como un subgrupo del grupo circular, U(1), como el conjunto de las pⁿésimas raíces de la unidad con n que se extiende sobre todos los enteros no negativos:

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbf {Z} ^{+},\,n\in \mathbf {Z} ^{+}\}.\;}$

Alternativamente, el p-grupo de Prüfer puede ser visto como el p-subgrupo de Sylow de Q/Z, que consiste en aquellos elementos cuyo orden es una potencia de p:

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} .}$

Hay una presentation (escrita aditivamente)

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\langle x_{1},x_{2},\dots |px_{1}=0,px_{2}=x_{1},px_{3}=x_{2},\dots \rangle .}$

El p-grupo de Prüfer es el único p-grupo infinito que es localmente cíclico (cada conjunto finito de elementos genera un grupo cíclico).

El p-grupo Prüfer es divisible.

En el lenguaje del álgebra universal, un grupo abeliano es subdirectamente irreducible si y sólo si éste es isomorfo a un p-grupo finito o isomorfo a un grupo de Prüfer.

En la teoría de grupos topológicos localmente compactos el p-grupo de Prüfer (dotado con la topología discreta) es el dual de Pontryagin del grupo compacto de los enteros p-ádicos, y el grupo de enteros p-ádicos es el dual de Pontryagin dual del p-grupo de Prüfer.^[1]​

Los p-grupos de Prüfer para todos los primos p son los únicos grupos infinitos cuyos subgrupos son totalmente ordenados por inclusión. Como no hay un subgrupo máximo de un p-grupo de Prüfer, éste es su propio subgrupo de Frattini.

${\displaystyle 0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty })}$

Esta sucesión de inclusiones expresa al p-grupo de Prüfer como el límite directo de sus subgrupos finitos.

Como un ${\displaystyle \mathbf {Z} }$-módulo, el p-grupo de Prüfer es artiniano, pero no noetheriano, y del mismo modo, como grupo, es artiniano pero no noetheriano.^[2]​^[3]​ Por lo tanto, se puede utilizar como un contraejemplo en contra de la idea de que cada módulo artiniano es noetheriano (considerando que todo anillo artiniano es noetheriano).

Véase también

• Enteros p-ádicos, los cuales pueden definirse como el límite inverso de los subgrupos finitos del p-grupo de Prüfer.
• Fracción diádica, números racionales de la forma a/2^b. El 2-grupo de Prüfer puede ser visto como las fracciones diádicas módulo 1.

Notas

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 2 (2nd edición), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 .
• Pierre Antoine Grillet (2007). Abstract algebra. Springer. ISBN 9780387715674. 
• Quasicyclic group en PlanetMath.
• N.N. Vil'yams (2001), «Quasi-cyclic_group&oldid=14132», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .