Método Einstein-Brillouin-Keller

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El método de Einstein-Brillouin-Keller (EBK) es un método semiclásico (llamado así por Albert Einstein, Léon Brillouin y Joseph B. Keller) que se utiliza para calcular valores propios en sistemas mecánicos cuánticos. La cuantificación EBK es una mejora de la cuantificación de Bohr-Sommerfeld que no consideró los saltos de fase cáustica en los puntos de inflexión clásicos.^[1]​ Este procedimiento es capaz de reproducir exactamente el espectro del oscilador armónico 3D, partícula en una caja, e incluso la estructura fina relativista del átomo de hidrógeno.^[2]​

En 1976–1977, Berry y Tabor derivaron una extensión de la fórmula de trazas de Gutzwiller para la densidad de estados de un sistema integrable a partir de la cuantificación EBK.^[3]​^[4]​

Ha habido una serie de resultados recientes sobre problemas computacionales relacionados con este tema, por ejemplo, el trabajo de Eric J. Heller y Emmanuel David Tannenbaum utilizando un enfoque de descenso de gradiente de ecuación diferencial parcial.^[5]​

Procedimiento

Dado un separable sistema clásico definido por coordenadas ${\displaystyle (q_{i},p_{i});i\in \{1,2,\cdots ,d\}}$, en el que cada par ${\displaystyle (q_{i},p_{i})}$ describe una función cerrada o una función periódica en ${\displaystyle q_{i}}$, el procedimiento EBK implica cuantificar las integrales de trayectoria de ${\displaystyle p_{i}}$ sobre el cerrado órbita de i${\displaystyle q_{i}}$:

${\displaystyle I_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}dq_{i}=\hbar \left(n_{i}+{\frac {\mu _{i}}{4}}+{\frac {b_{i}}{2}}\right)}$

donde ${\displaystyle I_{i}}$ es la coordenada del ángulo de acción, ${\displaystyle n_{i}}$ es un número entero positivo y ${\displaystyle \mu _{i}}$ y ${\displaystyle b_{i}}$ son índices de Maslov. ${\displaystyle \mu _{i}}$ corresponde al número de puntos de inflexión clásicos en la trayectoria de ${\displaystyle q_{i}}$ (Condición de frontera de Dirichlet), y ${\displaystyle b_{i}}$ corresponde al número de reflexiones con una pared dura (Condición de frontera de Neumann).^[6]​

Ejemplos

Oscilador armónico 1D

El hamiltoniano de un oscilador armónico simple viene dado por

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$

donde ${\displaystyle p}$ es el momento lineal y ${\displaystyle x}$ la coordenada de posición. La variable de acción está dada por

${\displaystyle I={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {2mE-m^{2}\omega ^{2}x^{2}}}\mathrm {d} x}$

donde hemos usado eso ${\displaystyle H=E}$ es la energía y que la trayectoria cerrada es 4 veces la trayectoria desde 0 hasta el punto de inflexión ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}}$.

La integral resulta ser

${\displaystyle E=I\omega }$,

que bajo la cuantificación EBK hay dos puntos de inflexión suaves en cada órbita ${\displaystyle \mu _{x}=2}$ and ${\displaystyle b_{x}=0}$. Finalmente, eso da como resultado

${\displaystyle E=\hbar \omega (n+1/2)}$,

que es la cuantización habitual del oscilador armónico cuántico.

átomo de hidrógeno 2D

El hamiltoniano para un electrón no relativista (carga eléctrica ${\displaystyle e}$) en un átomo de hidrógeno es:

${\displaystyle H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

donde ${\displaystyle p_{r}}$ es el momento canónico a la distancia radial ${\displaystyle r}$, y ${\displaystyle p_{\varphi }}$ es el momento canónico del ángulo azimutal ${\displaystyle \varphi }$. Tome las coordenadas del ángulo de acción:

${\displaystyle I_{\varphi }={\text{constant}}=L}$

Para la coordenada radial ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle p_{r}={\sqrt {2mE-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}}}$

${\displaystyle I_{r}={\frac {1}{\pi }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}p_{r}dr={\frac {me^{2}}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {-2mE}}}}-|L|}$

donde estamos integrando entre los dos puntos de inflexión clásicos ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ (${\displaystyle \mu _{r}=2}$)

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}(I_{r}+L)^{2}}}}$

Uso de la cuantificación EBK ${\displaystyle b_{r}=\mu _{\varphi }=b_{\varphi }=0,n_{\varphi }=m}$ :

${\displaystyle L=\hbar m\quad ;\quad m=0,1,2,\cdots }$

${\displaystyle I_{r}=\hbar (n_{r}+1/2)\quad ;\quad n_{r}=0,1,2,\cdots }$

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n_{r}+m+1/2)^{2}}}}$

y haciendo ${\displaystyle n=n_{r}+m+1}$ el espectro del átomo de hidrógeno 2D^[7]​ se recupera:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n-1/2)^{2}}}\quad ;\quad n=1,2,3,\cdots }$

Téngase en cuenta que para este caso ${\displaystyle L}$ casi coincide con la cuantificación habitual del operador de momento angular en el plano ${\displaystyle L_{z}}$. Para el caso 3D, el método EBK para el momento angular total es equivalente a la corrección de Langer.

Referencias