Mecánica de fluidos hamiltoniana

La mecánica de fluidos hamiltoniana es la aplicación de los métodos de la mecánica hamiltoniana a la mecánica de fluidos. Nótese que este formalismo sólo se aplica a fluidos no disipativos.

Flujo barotrópico irrotacional

Tomemos el sencillo ejemplo de un barotrópico, no viscoso y sin vorticidad.

Entonces, los campos conjugados son el campo densidad de masa ρ y el potencial de velocidad φ. El paréntesis de Poisson viene dado por

{ ρ ( y → ) , φ ( x → ) } = δ d ( x → − y → ) {\displaystyle \{\rho ({\vec {y}}),\varphi ({\vec {x}})\}=\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {y}})}

y el Hamiltoniano por:

H = ∫ d d x H = ∫ d d x ( 1 2 ρ ( ∇ φ ) 2 + e ( ρ ) ) , {\displaystyle H=\int \mathrm {d} ^{d}x{\mathcal {H}}=\int \mathrm {d} ^{d}x\left({\frac {1}{2}}\rho (\nabla \varphi )^{2}+e(\rho )\right),}

donde e es la densidad de energía interna, en función de ρ. Para este flujo barotrópico, la energía interna está relacionada con la presión p por:

e ″ = 1 ρ p ′ , {\displaystyle e''={\frac {1}{\rho }}p',}

donde un apóstrofe ('), denota diferenciación con respecto a ρ.

Esta estructura Hamiltoniana da lugar a las siguientes dos ecuaciones de movimiento:

∂ ρ ∂ t = + ∂ H ∂ φ = − ∇ ⋅ ( ρ u → ) , ∂ φ ∂ t = − ∂ H ∂ ρ = − 1 2 u → ⋅ u → − e ′ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \varphi }}=-\nabla \cdot (\rho {\vec {u}}),\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \rho }}=-{\frac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-e',\end{aligned}}}

donde u →   = d e f   ∇ φ {\displaystyle {\vec {u}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla \varphi } es la velocidad y está libre de vorticidad. La segunda ecuación conduce a las ecuaciones de Euler:

∂ u → ∂ t + ( u → ⋅ ∇ ) u → = − e ″ ∇ ρ = − 1 ρ ∇ p {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {u}}=-e''\nabla \rho =-{\frac {1}{\rho }}\nabla {p}}

después de explotar el hecho de que la vorticidad es cero:

∇ × u → = 0 → . {\displaystyle \nabla \times {\vec {u}}={\vec {0}}.}

Como la dinámica de fluidos se describe mediante dinámicas no canónicas, que poseen una cantidad infinita de invariantes de Casimir, se puede introducir una formulación alternativa de la formulación hamiltoniana de la dinámica de fluidos mediante el uso de la mecánica de Nambu[1]​[2]​.

Referencias

Bibliografía

  • Badin, Gualtiero; Crisciani, Fulvio (2018). Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws -. Springer. p. 218. ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID 125902566. doi:10.1007/978-3-319-59695-2. 
  • Morrison, P.J. (2006). «Hamiltonian Fluid Mechanics». En Elsevier, ed. Encyclopedia of Mathematical Physics 2. Amsterdam. pp. 593-600. 
  • Morrison, P. J. (April 1998). «Hamiltonian Description of the Ideal Fluid». Reviews of Modern Physics (Austin, Texas) 70 (2): 467-521. Bibcode:1998RvMP...70..467M. doi:10.1103/RevModPhys.70.467. hdl:2152/61087. 
  • R. Salmon (1988). «Hamiltonian Fluid Mechanics». Annual Review of Fluid Mechanics 20: 225-256. Bibcode:1988AnRFM..20..225S. doi:10.1146/annurev.fl.20.010188.001301. 
  • Shepherd, Theodore G (1990). «Symmetries, Conservation Laws, and Hamiltonian Structure in Geophysical Fluid Dynamics». Advances in Geophysics Volume 32. Advances in Geophysics 32. pp. 287-338. Bibcode:1990AdGeo..32..287S. ISBN 9780120188321. doi:10.1016/S0065-2687(08)60429-X. 
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  • Nevir, P.; Blender, R. (1993). «A Nambu representation of incompressible hydrodynamics using helicity and enstrophy». J. Phys. A 26 (22): 1189-1193. Bibcode:1993JPhA...26L1189N. doi:10.1088/0305-4470/26/22/010. 
  • Blender, R.; Badin, G. (2015). «Hydrodynamic Nambu mechanics derived by geometric constraints». J. Phys. A 48 (10): 105501. Bibcode:2015JPhA...48j5501B. S2CID 119661148. arXiv:1510.04832. doi:10.1088/1751-8113/48/10/105501.