Eraztunen teorian,
gorputza izanik,
polinomio ez-nulu bat irreduziblea dela diogu baldin eta honako polinomioaren edozein faktorizaziotan
berdintzako
eta
polinomioetako bat unitatea bada. Hau da, ez badira existitzen
zeinek
polinomioaren maila baino maila hertsiki txikiagoa duten eta
betetzen den. Beraz,
edo
da derrigor; beste era batera esanda, bietako bat polinomio konstante bat izango da. Kontrako kasuan,
polinomio erreduziblea dela esaten da.
Erreduzible izatea edo ez gorputzaren arabera aldatzen da eta
gorputza,
zenbaki errealen multzoa,
zenbaki konplexuen multzoa,
zenbaki arrazionalen multzoa edo
zenbaki osoen multzoa (eraztuna) izan daiteke.
Adibideak
Ondorengo bost polinomioek polinomio erreduzible eta irreduzibleen oinarrizko ezaugarri batzuk erakusten dizkigute, definiturik dauden eremuaren arabera:
,
,
,
,
.
zenbaki osoen eraztunaren gainean, lehen bi polinomioak erreduzibleak dira, baina azken hirurak irreduzibleak dira.
zenbaki arrazionalen gorputzaren gainean, lehen hiru polinomioak erreduzibleak dira, baina azken biak irreduzibleak dira.
zenbaki errealen gorputzaren gainean, lehen lau polinomioak erreduzibleak dira, baina azkena irreduziblea da.
zenbaki konplexuen gorputzaren gainean, bost polinomioak erreduzibleak dira. Izan ere,
-n polinomio ez konstante bakoitza, faktore linealetan faktorizatu daiteke:
![{\displaystyle p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1a57284afc002318c203dfbde8ee4389eaf66c)
- non
polinomioaren koefiziente nagusia den eta
-ren erroak diren. Beraz, polinomio irreduzible guztiak 1 mailakoak dira.
Irreduzibilitate irizpideak
Polinomio bat irreduziblea den edo ez frogatzeko hainbat irizpide erabil daitezke, horien artean, erredukzio irizpidea, Gauss-en lema eta Einstein-en irizpidea aurki ditzakegu.
Lehen mailako polinomioak
Irreduzibleak dira beti,
bada,
delako eta
denez eta
izan behar duenez, ez da posible.
Bigarren edo hirugarren mailako polinomioak
Baldin eta
edo
bada, orduan
irreduziblea da
-ren gainean baldin eta soilik baldin ez badu errorik.
gorputzeko erroak
Baldin eta
bada eta
bada, orduan
-k
-n
erroren bat izatekotan
izanik, derrigorrez,
eta
izan behar du.
Gaussen lema
Baldin eta
bada, orduan
-n
polinomioa
maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz daiteke, baldin eta soilik baldin
-ko maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz badaiteke. Hau da,
eta
-n irreduzible izatea baliokidea da.
Einseinstein-en irizpide orokortua
Baldin eta
bada,
zenbaki lehena bada, eta
non ![{\displaystyle 1\leq r\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c285f65976ce516e4afcecde719fab26e059f0)
![{\displaystyle p^{2}\nmid a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c222b1db8ce45acee76055c042eda0f32c901e)
![{\displaystyle p\nmid a_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e1c9510b97b0c2bcd00ce1ddd0c6b4a499efef)
Orduan
-k
eraztunean
edo
baino maila handiagoko faktore irreduzible bat dauka. Bereziki,
bada,
irreduziblea da
-ren gainean.
Kanpo estekak