Tangentea (laburtuta tan edo tg ) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.
tg α = C B ¯ A C ¯ = a b {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {a}{b}}} Arrazoi honen tamainak ez du zerikusirik aukeratuta triangeluaren tamainarekin, baizik eta angeluaren balioarekin.
Historia Regiomontano izan zen, ziurrenik, Europan trigonometria matematikako adar ezberdindu gisa landu zuen lehenengoa. De triangulis omnimodis lanean, 1464koa, eta Tabluae directionum en, beranduago, funtzio tangentea aipatzen zuen, nahiz eta izenik ez zion eman[1] .
Irudikapen grafikoa Identitateak Bi angeluen baturaren tangentea Identitate trigonometriko hau bi angeluren batuketaren identitatetik abiatzen da, dagoeneko sinu eta kosinuarentzat ezagutzen dena.
ϕ , θ {\displaystyle \phi ,\theta \ } angeluak izanda: tg ( ϕ + θ ) = sen ( ϕ + θ ) cos ( ϕ + θ ) {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen}(\phi +\theta )}{\cos(\phi +\theta )}}} Lehengo identitateengatik ordezkatuta: tg ( ϕ + θ ) = sen ϕ cos θ + cos ϕ sen θ cos ϕ cos θ − sen ϕ sen θ {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }}} Zatikiaren aldeak ebatziz cos ϕ cos θ {\displaystyle \cos \phi \cos \theta \,} : tg ( ϕ + θ ) = sen ϕ cos θ + cos ϕ sen θ cos ϕ cos θ cos ϕ cos θ − sen ϕ sen θ cos ϕ cos θ {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}{\cfrac {\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}} Bi angeluaren kenketaren tangentea tg ( ϕ + ( − θ ) ) = tg ϕ + tg ( − θ ) 1 − tg ϕ tg ( − θ ) {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +(-\theta )\right)={\frac {\operatorname {tg} \phi +\operatorname {tg} (-\theta )}{1-\operatorname {tg} \phi \operatorname {tg} (-\theta )}}} Funtzi bakoitia denez, hau lortzen da: tg ( ϕ − θ ) = tg ϕ − tg θ 1 + tg ϕ tg θ {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi -\theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \phi -\operatorname {tg} \theta }{1+\operatorname {tg} \phi \operatorname {tg} \theta }}} Formula laburtua tg ( ϕ ± θ ) = tg ϕ ± tg θ 1 ∓ tg ϕ tg θ {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi \pm \theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \phi \pm \operatorname {tg} \theta }{1\mp \operatorname {tg} \phi \operatorname {tg} \theta }}} Angelu bikoitzaren tangentea Hemendik abiatuz
tg ( ϕ + θ ) = tg ϕ + tg θ 1 − tg ϕ tg θ {\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +\theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \phi +\operatorname {tg} \theta }{1-\operatorname {tg} \phi \operatorname {tg} \theta }}} eta ϕ = θ {\displaystyle \phi =\theta \,} eginez, orduan:
tg ( 2 ϕ ) = 2 tg ϕ 1 − tg 2 ϕ {\displaystyle \operatorname {tg} \left(2\phi \right)={\frac {2\operatorname {tg} \phi }{1-\operatorname {tg} ^{2}\phi }}} Angelu hirukoitzaren tangentea ψ angeluaren tangentea ezagututa, 3ψ tangentea aurkitu:
tg ( 3 ψ ) = 3 tg ψ − tg 3 ψ 1 − 3 tg 2 ψ {\displaystyle \operatorname {tg} \left(3\psi \right)={\frac {3\operatorname {tg} \psi -\operatorname {tg} ^{3}\psi }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\psi }}} Angelu erdiaren tangentea aurkitu θ angeluaren erdiaren tangentea aurkitu:
tg θ 2 = sen θ 1 + cos θ {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}} [2] Tangentearen deribatua Tangentearen deribatua honela kalkulatzen da:
[ tg ( x ) ] ′ = sec 2 ( x ) {\displaystyle [\operatorname {tg} (x)]'=\sec ^{2}(x)\,} Erreferentziak ↑ Boyer, Carl B.. (1991). A history of mathematics. (2nd ed. [rev.]. argitaraldia) Wiley ISBN 0-471-54397-7. PMC 23823042. (Noiz kontsultatua: 2022-05-30) . ↑ Granville et all: Op. cit Ikus, gainera Kanpo estekak Funtzio trigonometrikoak. Hiru.com