Antikommutatiivisuus

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Binäärioperaatio on antikommutatiivinen tai antikommutoiva, jos alkioiden operointijärjestyksen vaihtaminen muuttaa operaation tuloksen käänteisalkiokseen. Tämä määritelmä on kuitenkin hieman epätarkka, sillä käänteisalkiolla voidaan tarkoittaa joko additiivista käänteisalkiota tai multiplikatiivista käänteisalkiota riippuen joukosta, jossa kyseinen operaation on määritelty. Tarkempi määritelmä käyttäen additiivista käänteisalkiota (ks. vastaluku) seuraa.

Olkoon ${\displaystyle S}$ epätyhjä joukko varustettuna binäärisillä operaatioilla ${\displaystyle \circ }$ ja ${\displaystyle *}$. Vaaditaan lisäksi ensimmäiseltä operaatiolta se, että joukko ${\displaystyle S}$ varustettuna laskutoimituksella ${\displaystyle \circ }$ muodostaa ryhmän. Tämä on välttämätöntä käänteisalkion olemassaolon kannalta. Jos ${\displaystyle a\in S}$, niin merkitään ${\displaystyle a}$:n käänteisalkiota ${\displaystyle -a}$:lla (kuten vastalukua). Ts.

${\displaystyle a\circ (-a)=-a\circ a=0_{S}}$,

missä ${\displaystyle 0_{S}}$ on ryhmän ${\displaystyle (S,\circ )}$ neutraalialkio. Tällöin binäärinen operaatio ${\displaystyle *}$ on antikommutatiivinen, jos kaikilla ${\displaystyle a,b\in S}$ pätee

${\displaystyle a*b=-(b*a)}$.

Antikommutatiivisuutta ei pidä sotkea epäkommutatiivisuuteen (tai ei-kommutoivaan). Epäkommutatiivinen tarkoittaa ei-vaihdannaista, eli edellä olevin merkinnöin

${\displaystyle a*b\neq b*a}$.

Antikommutatiivisuus on siis epäkommutatiivisuuden erikoistapaus.

• Vektoreiden ristitulo on antikommutatiivinen: jos ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}$, niin ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}$.
• Reaalilukujen vähennyslasku on antikommutatiivinen, kunhan vähennyslasku tulkitaan nimenomaan yhteenlaskun käänteislaskutoimituksena: ${\displaystyle a-b=-(b-a)}$kaikille reaaliluvuille ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$.

• Operaattori (matematiikka)