Karakteristinen polynomi

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Annetulle neliömatriisille ${\displaystyle A}$ on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat ${\displaystyle A}$:n ominaisarvot.

Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille ${\displaystyle A}$ karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ${\displaystyle a_{i}}$, missä ${\displaystyle i=1,...,n}$, niin karakteristinen polynomi on muotoa

${\displaystyle p_{A}(t)=(t-a_{1})(t-a_{2})(t-a_{3})...(t-a_{n})\,}$

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleisen ${\displaystyle n\times n}$-neliömatriisin ${\displaystyle A}$ tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) ${\displaystyle \lambda }$ on matriisin ${\displaystyle A}$ ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) ${\displaystyle {\vec {v}}\neq {\vec {0}}}$, että

${\displaystyle A{\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}}$,

eli

${\displaystyle (\lambda I-A){\vec {v}}={\vec {0}}}$,

missä ${\displaystyle I}$ on yksikkömatriisi. Koska vektori ${\displaystyle {\vec {v}}}$ on nollasta eroava, on matriisin ${\displaystyle (A-\lambda I)}$ oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on ${\displaystyle 0}$. Tämän determinantista saadun polynomin ${\displaystyle \det(tI-A)}$ juuret ovat ${\displaystyle A}$:n ominaisarvoja.

Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön

${\displaystyle \det(tI-A)=0\,}$

ratkaisuina.

Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Olkoon ${\displaystyle K}$ kunta ja ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$-kertoiminen ${\displaystyle n\times n}$ -matriisi. Matriisin ${\displaystyle A}$ karakteristinen polynomi ${\displaystyle p_{A}(t)}$ on määritelmän mukaan

${\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)\,}$,

missä ${\displaystyle I}$ on ${\displaystyle n\times n}$ yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla ${\displaystyle \det(A-tI)}$. Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla ${\displaystyle \pm 1}$.

Lasketaan matriisin

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

${\displaystyle \det(tI-A)=\det {\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t\end{pmatrix}}.}$

Tämä determinantti on

${\displaystyle (t-2)t-1\cdot (-1)=t^{2}-2t+1.\,\!}$

Tämä on ${\displaystyle A}$:n karakteristinen polynomi, missä ${\displaystyle t}$ on matriisin ominaisarvo.

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.