Lukujonon raja-arvo

Tämän artikkelin tai sen osan kieliasua on pyydetty parannettavaksi. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin kieliasua. Tarkennus: Artikkeli on matemaatikolle hyvin selvä, mutta matemaattisiin funktioihin tarkemmin perehtymättömälle vaikeatajuista tekstiä. Esimerkiksi englanninkielisessä Wikipediassakin on paljon kansantajuisempi esitys aiheesta vapaasti kopioitavissa.

Lukujonon raja-arvo on matematiikassa lukujonojen käyttäytymistä ilmaiseva peruskäsite. Lukujono on järjestetty luettelo lukuja, joka voi olla äärettömän pitkä. Äärettömille lukujonoille on luontevaa tutkia mitä lukuarvoa kohti sen jäsenet lähestyvät. Jos ne lähestyvät yhtä tiettyä lukua, sanotaan lukujonon suppenevan kohti tätä raja-arvoa. Muussa tapauksessa lukujono hajaantuu.^[1]

Määritelmä

Lukujonon ${\displaystyle (x_{n}\,\!)}$ raja-arvo on sellainen luku ${\displaystyle L}$, että kaikilla ${\displaystyle \epsilon >0}$ on olemassa ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ siten, että ${\displaystyle |x_{n}-L|<\epsilon }$, kun ${\displaystyle n>n_{0}}$. Lukujonon ${\displaystyle (x_{n})\,\!}$ raja-arvoa ${\displaystyle L}$ merkitään${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$.

Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu. Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut lähestyvät tätä raja-arvoa, kun ${\displaystyle n}$ kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja sille voidaan suorittaa laskutoimituksia samalla tavoin kuin vastaavalle funktiolle.

Suppeneva lukujono on esimerkiksi

${\displaystyle (1-0{,}1^{n})=0{,}9;0{,}99;0{,}999...,1-0{,}1^{n};...\,\!}$

Sen raja-arvo on 1 eli ${\displaystyle \lim(1-0,1^{n})=1}$ .

Sarjan raja-arvo

Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla kuin lukujonon raja-arvo. Jos sarjalla on raja-arvo, se suppenee. Muussa tapauksessa se hajaantuu. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi

• ${\displaystyle 1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {1}{10000}}+...=1,11111...=1{\frac {1}{9}}}$

ja

• ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+...=2}$.

Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi:

• ${\displaystyle 1+1+1+1+1+...}$
• ${\displaystyle 1+2+3+4+5+...}$

ja

• ${\displaystyle 1+2+4+8+16+...}$.

Sarja x₁ + x₂ + x₃ + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli ${\displaystyle \lim(x_{n})=0}$. On kuitenkin olemassa myös sarjoja, joiden termit suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+...}$.

Ominaisuuksia

• Lukujonolla voi olla enintään yksi raja-arvo.
• Suppeneva jono on aina rajoitettu.
• Jos ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$ ja ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$, niin pätee:
  • ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=a+b}$
  • ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(rx_{n})=ra}$ . ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$
  • ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=ab}$
  • ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}/y_{n})=a/b}$

Lähteet