Symmetrinen matriisi

Symmetrinen matriisi on matriisi, joka on itsensä transpoosi.[1] Siten A on symmetrinen jos

A T = A {\displaystyle A^{\textrm {T}}=A\,} ,

jolloin A:n on tietysti oltava neliömatriisi. Symmetrisen matriisin alkiot sijaitsevat symmetrisesti päädiagonaalin suhteen. Jos matriisin alkioita merkitään A = (aij), on

a i j = a j i {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\,}

kaikilla indekseillä i ja j. Esimerkiksi seuraava 3×3-matriisi on symmetrinen:

[ 1 2 3 2 4 5 3 5 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&-4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}}

Kaikki lävistäjämatriisit ovat symmetrisiä, sillä kaikki niiden alkiot, jotka eivät ole lävistäjällä, ovat nollia. Matriisia sanotaan vinosymmetriseksi (engl. skew symmetric) jos sen vastamatriisi on A:n transpoosi eli

A T = A {\displaystyle A^{T}=-A\,} .

Symmetrisillä matriiseilla, ja niitä vastaavilla lineaarikuvauksilla, on muutama erittäin tärkeä ominaisuus:

  1. Symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
  2. Symmetrisen matriisin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
  3. Symmetrisen matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa vektoriavaruuden R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ortonormaali kanta.

Näillä ominaisuuksilla on keskeinen asema monissa sovelluksissa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa.

Lähteet

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 408–409. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta

  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.