Équation de Sylvester

En mathématiques, dans le domaine de la théorie du contrôle, une équation de Sylvester est une équation matricielle de la forme^[1] :

AX+XB=C

Les matrices $A$ , $B$ et $C$ sont données ; le problème est de déterminer les matrices $X$ qui satisfont cette équation. Les matrices sont supposées à coefficients complexes. Les matrices sont de tailles appropriées, par exemple elles sont toutes des matrices carrées de même taille, ou plus généralement, $A$ et $B$ sont des matrices carrées de taille $n$ et $m$ respectivement, et $X$ et $C$ sont à $n$ lignes et $m$ colonnes.

Une équation de Sylvester a une solution unique en $X$ si et seulement si $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune. Plus généralement, l'équation $AX+XB=C$ a été considérée comme une équation d'opérateurs bornés dans un espace de Banach (éventuellement de dimension infinie). Dans ce cas, la condition d'unicité d'une solution en $X$ est quasiment la même : il existe une solution unique en $X$ exactement lorsque les spectres de $A$ et de $-B$ sont disjoints^[2].

Existence et unicité des solutions

En utilisant le produit de Kronecker et l'opérateur de vectorisation (en) $\operatorname {vec}$ , on peut réécrire l'équation de Sylvester sous la forme

(I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,

où $A$ est de taille $(n,n)$ , $B$ est de taille $(m,m)$ , $X$ de taille $(n,m)$ et $I_{k}$ est la matrice d'identité de taille $k$ . Sous cette forme, l'équation peut être vue comme un système linéaire de taille $mn\times mn$ ^[3].

Théorème — Étant données des matrices $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ et $B\in \mathbb {C} ^{m\times m}$ , l'équation de Sylvester : $AX+XB=C$ a une solution unique $X\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ quelle que soit $C\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ si et seulement si $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune.

Démonstration

L'équation $AX+XB=C$ est un système linéaire en $mn$ inconnues et autant d'équations. Elle a donc une solution unique pour tout $C$ si et seulement si l'équation homogène $AX+XB=0$ n'admet que la solution triviale $0$ .

(i) Supposons que $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune et soit $X$ une solution de l'équation homogène. Alors $AX=X(-B)$ et par récurrence $A^{k}X=X(-B)^{k}$ pour tout $k\geq 0$ . Par conséquent, on a $p(A)X=Xp(-B)$ pour tout polynôme $p$ . En particulier, soit $p$ le polynôme caractéristique de $A$ . Alors $p(A)=0$ par le théorème de Cayley-Hamilton ; le théorème spectral donne

\sigma (p(-B))=p(\sigma (-B))

où $\sigma (\cdot )$ désigne le spectre d'une matrice. Si $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune, $p(\sigma (-B))$ ne contient pas zéro, et donc $p(-B)$ est non singulier. Ainsi $X=0$ comme annoncé. Cela prouve la partie directe du théorème.

(ii) Supposons maintenant que $A$ et $-B$ partagent une valeur propre $\lambda$ . Soit $u$ un vecteur propre droit associé pour $A$ , et $v$ un vecteur propre gauche associé pour $-B$ , et soit $X=u{v}^{*}$ . Alors $X\neq 0$ , et $AX+XB=A(uv^{*})-(uv^{*})(-B)=\lambda uv^{*}-\lambda uv^{*}=0.$ Ainsi $X$ est une solution non triviale à l'équation homogène, montrant la réciproque du théorème.

La non-singularité de $p(-B)$ dans la partie (i) de la preuve ci-dessus peut également être démontrée par l' identité de Bézout pour des polynômes premiers entre eux. Soit en effet $q$ le polynôme caractéristique de $-B$ . Comme $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune, $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Il existe donc des polynômes $f$ et $g$ tel que $p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1$ . Par le théorème de Cayley-Hamilton, $q(-B)=0$ . Ainsi $p(-B)f(-B)=I$ , ce qui implique que $p(-B)$ est non singulier.

Le théorème reste vrai pour les matrices réelles sous réserve de considérer leurs valeurs propres complexes. La preuve de la partie directe est toujours valable ; pour la réciproque, on note que $\mathrm {Re} (uv^{*})$ et $\mathrm {Im} (uv^{*})$ satisfont l'équation homogène $AX+XB=0$ , et ils ne peuvent pas être nuls simultanément.

La règle de suppression de Roth

Étant donné deux matrices carrées complexes $A$ et $B$ de taille $n$ et $m$ , et une matrice $C$ de taille $(n,m)$ , on peut se demander quand les deux matrices carrées suivantes

: ${\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}\,$ et $\,{\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}$

de taille $n+m$ sont semblables. La réponse est que ces deux matrices sont semblables exactement lorsqu'il existe une matrice $X$ telle que $AX-XB=C$ , en d'autres termes, si $X$ est une solution d'une équation de Sylvester. Cette observation est appelée la règle de suppression de Roth ^[4].

On vérifie facilement une direction : Si $AX-XB=C$ alors

{\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.

La règle de suppression de Roth ne se généralise pas aux opérateurs bornés de dimension infinie sur un espace de Banach^[5].

Résolutions numériques

Un algorithme classique de résolution numérique de l'équation de Sylvester est l'algorithme de Bartels-Stewart, qui consiste à transformer $A$ et $B$ en forme de Schur par un algorithme QR, puis en résolvant le système triangulaire résultant par substitution. Cet algorithme, dont le coût de calcul est en ${\mathcal {O}}(n^{3})$ opérations arithmétiques, est utilisé, entre autres, par le logiciel LAPACK et la fonction lyap dans GNU Octave^[6]. Elle est proche de la fonction sylvester dans cet ensemble^[7]^,^[8]. Dans certaines applications spécifiques de traitement d'image , la solution de l'équation de Sylvester dérivée a une forme close^[9].

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sylvester equation » (voir la liste des auteurs).

↑ On voit aussi l'écriture équivalente $AX-XB=C$ .
↑ Bhatia et Rosenthal 1997.
↑ Cependant, cette réécriture de n'est pas conseillée car la solution numérique coûteuse en temps peut être mal conditionnée.
↑ F. Gerrish et A.G.B. Ward, « Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule », The Mathematical Gazette, vol. 82, n^o 495,‎ novembre 1998, p. 423–430 (DOI 10.2307/3619888, JSTOR 3619888).
↑ Bhatia et Rosenthal 1997, p. 3.
↑ « Function Reference: Lyap »
↑ « Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1)) »
↑ La commande syl est obsolète depuis la version GNU Octave Version 4.0.
↑ Q. Wei, N. Dobigeon et J.-Y. Tourneret, « Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation », Transactions on Image Processing, vol. 24, n^o 11,‎ 2015, p. 4109–4121 (PMID 26208345, DOI 10.1109/TIP.2015.2458572, Bibcode 2015ITIP...24.4109W, arXiv 1502.03121, S2CID 665111).

Références

J. Sylvester, « Sur l'equations en matrices $px=xq$ », Comptes rendus de l'académie des sciences, vol. 99, n^o 2,‎ 1884, p. 67–71, 115–116
R. H. Bartels et G. W. Stewart, « Solution of the matrix equation $AX+XB=C$ », Communications of the ACM, vol. 15, n^o 9,‎ 1972, p. 820–826 (DOI 10.1145/361573.361582, S2CID 12957010)
R. Bhatia et P. Rosenthal, « How and why to solve the operator equation $AX-XB=Y$ ? », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 29, n^o 1,‎ 1997, p. 1–21 (DOI 10.1112/S0024609396001828)
S.-G. Lee et Q.-P. Vu, « Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum », Linear Algebra Appl., vol. 435, n^o 9,‎ 2011, p. 2097–2109 (DOI 10.1016/j.laa.2010.09.034)
Q. Wei, N. Dobigeon et J.-Y. Tourneret, « Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation », IEEE Transactions on Image Processing, vol. 24, n^o 11,‎ 2015, p. 4109–4121 (PMID 26208345, DOI 10.1109/TIP.2015.2458572, Bibcode 2015ITIP...24.4109W, arXiv 1502.03121, S2CID 665111)
Garrett Birkhoff et Saunders MacLane, A survey of modern algebra, Macmillan, 1965, p. 213-299