Arc cosinus

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Fonction arc cosinus

Représentation graphique (dans un repère non normé).

Notation	${\displaystyle \arccos(x)}$
Réciproque	${\displaystyle \cos(x)}$ sur [0 ; π]
Dérivée	${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
Primitives	${\displaystyle x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	[−1 ; 1]
Ensemble image	[0 ; π]

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En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul et l'angle plat.

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée arccos (Arccos^[1] ou Acos en notation française, et cos⁻¹, parfois acos ou acs, en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle [0, π] donc, dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation y = x.

Définition

La fonction ${\displaystyle \arccos :[-1,1]\rightarrow [0,\pi ]}$ est définie comme la fonction réciproque de ${\displaystyle \cos }$ sur ${\displaystyle [0,\pi ]}$, c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :

$${\displaystyle \forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x.}$$

Propriétés

Relations trigonométriques

Non parité

Contrairement aux fonctions Arc sinus et Arc tangente, la fonction ${\displaystyle \arccos }$ n'admet aucune parité. En revanche, elle possède la propriété suivante :

$${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos x.}$$

Relation avec le sinus

Pour ${\displaystyle X=\arccos x}$, on a ${\displaystyle \sin X\geq 0}$ (car ${\displaystyle X\in [0,\pi ]}$) et ${\displaystyle \cos ^{2}X+\sin ^{2}X=1}$, donc

$${\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}$$

« Inversion » des formules trigonométriques

Partant de n'importe quelle formule trigonométrique, on peut « l'inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints. Par exemple, puisque ${\displaystyle \cos 2x=2\cos ^{2}x-1}$, on aura ${\displaystyle \arccos(2X^{2}-1)=2\arccos X}$, mais seulement pour ${\displaystyle X\in [0,1].}$

Dérivée

Comme dérivée d'une fonction réciproque, arccos est dérivable sur ]–1,1[ et vérifie

${\displaystyle \arccos '(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque et à la relation avec le sinus (voir supra).

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

${\displaystyle \arccos x=\int _{1}^{x}-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}$

Primitives

Les primitives de la fonction arccos s'obtiennent par intégration par parties :

${\displaystyle \int \arccos(x)~\mathrm {d} x=x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C.}$

Relation entre arc cosinus et arc sinus

${\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}$.

En effet, π/2 – arccos x est compris entre –π/2 et π/2 et son sinus est égal au cosinus de arccos x c'est-à-dire à x, donc π/2 – arccos x = arcsin x.

(Pour une autre méthode, voir le § « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)

Forme logarithmique complexe

On peut exprimer la fonction arccos à l’aide du logarithme complexe :

${\displaystyle \arccos(x)=-\mathrm {i} \,\ln \left(x+\mathrm {i} \,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} \,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).}$

Référence

Voir aussi

• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Cosine », sur MathWorld

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