Brusselator

Le modèle du Brusselator est un modèle théorique proposé par Ilya Prigogine et ses collaborateurs de l'université libre de Bruxelles[1]. Ce modèle est utilisé pour décrire un type de réaction autocatalytique, c'est-à-dire dont un des produits catalyse la réaction.

Modélisation

En haut : le modèle du Brusselator en régime instable (A=1, B=3) : le système approche un cycle limite. En bas : le modèle du Brusselator en régime stable avec A=1 et B=1,7 : pour B<1+A2, le système est stable et converge vers un point fixe.
Simulation de Brusselator pour un système à réaction-diffusion à deux dimensions spatiales.

Le modèle du Brusselator est caractérisé par ce type de réactions :

A → X {\displaystyle A\rightarrow X}
2 X + Y → 3 X {\displaystyle 2X+Y\rightarrow 3X}
B + X → Y + D {\displaystyle B+X\rightarrow Y+D}
X → E {\displaystyle X\rightarrow E} .

Dans les conditions où les espèces chimiques A et B seraient en excès massif et dont les concentrations peuvent ainsi être modélisées comme constantes au cours du temps, l'équation cinétique devient alors le système suivant :

d d t { X } = { A } + { X } 2 { Y } − { B } { X } − { X } {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left\{X\right\}=\left\{A\right\}+\left\{X\right\}^{2}\left\{Y\right\}-\left\{B\right\}\left\{X\right\}-\left\{X\right\}}
d d t { Y } = { B } { X } − { X } 2 { Y } {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left\{Y\right\}=\left\{B\right\}\left\{X\right\}-\left\{X\right\}^{2}\left\{Y\right\}}

dans lequel, pour plus de commodité, les constantes cinétiques ont été fixées à 1.

Le modèle du Brusselator présente un état limite du système :

{ X } = A {\displaystyle \left\{X\right\}=A}
{ Y } = B A {\displaystyle \left\{Y\right\}={B \over A}} .

L'état limite du système devient instable si :

B > 1 + A 2 {\displaystyle B>1+A^{2}}

ce qui conduit à une oscillation du système.

À la différence du système d'équations différentielles de Lokta-Volerra, les oscillations du modèle de Brusselator ne dépendent pas de la quantité de réactif initialement présent. Au contraire, après un délai suffisant, les oscillations convergent vers un cycle limite[2].

L'exemple le plus connu est une réaction oscillante : la réaction de Belooussov-Jabotinski (dite BZ). Cela peut être créé à partir d'un mélange de bromate de potassium (KBrO3), d'acide malonique (CH2(COOH)2) et de sulfate de manganèse(II) (MnSO4), dans une solution chauffée d'acide sulfurique (H2SO4).

Articles connexes

Références

  1. ↑ (en) « IDEA: Internet Differential Equations Activities », Washington State University (consulté le ).
  2. ↑ (en) Shaun Ault et Erik Holmgreen, « Dynamics of the Brusselator » [PDF], sur bibliotecapleyades.net, (consulté le ).
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