Calcul de la puissance d'une turbine type éolien ou hydrolienne

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La puissance d'une turbine de type éolien ou hydrolienne peut être déterminée à partir du calcul de l’énergie cinétique et du calcul de l'énergie potentielle de son fluide moteur.

La limite de Betz, coefficient de puissance maximale théorique, est définie uniquement à partir du calcul de l’énergie cinétique[1].

Les grandes éoliennes sont arrêtées quand le vent est trop fort, non parce qu'elles produisent trop, mais parce que leurs pales subissent des contraintes trop importantes, dues à des forces surfaciques. Il est possible de transformer ces contraintes en récupération d'énergie supplémentaire, par exemple par une turbine à portance active (voir vidéo)[2][source insuffisante].

Principe de fonctionnement d'une turbine à portance active.

Préliminaire

Pour un régime stationnaire

Veine de courant.
V f {\displaystyle V_{f}}  : vitesse du fluide en amont.
V {\displaystyle V}  : vitesse du fluide au niveau de la turbine.
V w {\displaystyle V_{w}}  : vitesse du fluide dans le sillage au loin.

En régime stationnaire, la vitesse du fluide est constante dans le temps :     d V d t = 0 {\displaystyle ~~{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=0} .

Il en vient (voir schéma ci-contre), par conservation du débit, l'équation de continuité S f V f = S V = S w V w {\displaystyle S_{f}V_{f}=SV=S_{w}V_{w}}

Énergie, puissance et force cinétiques

(L'indice c pour « cinétique » est utilisé.)

E c = m   v 2 2     P c = d E c d t = d m d t v 2 2 + 1 2 m d v 2 d t     d v d t = 0     d m = ρ S v d t     P c = 1 2 ρ S v 3     F c = P c v = 1 2 ρ   S   v 2 {\displaystyle E_{\text{c}}=m~{\frac {v^{2}}{2}}\quad ~~P_{\text{c}}={\frac {\mathrm {d} E_{\text{c}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}{\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}m{\frac {\mathrm {d} v^{2}}{\mathrm {d} t}}\quad ~~{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=0\quad ~~dm=\rho Svdt\quad ~~P_{\text{c}}={\frac {1}{2}}\rho Sv^{3}\quad ~~F_{\text{c}}={\frac {P_{\text{c}}}{v}}={\frac {1}{2}}\rho ~S~v^{2}}

Énergie, puissance et force potentielles

(L'indice p pour « potentiel » est utilisé.)

E p = m   p ρ     P p = d E p d t = d m d t p ρ + m 1 ρ   d p d t     d p d t = 0     d m = ρ S v d t     P p = S v p     F p = P p v = p S {\displaystyle E_{\text{p}}=m~{\frac {p}{\rho }}\quad ~~P_{\text{p}}={\frac {\mathrm {d} E_{\text{p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}{\frac {p}{\rho }}+m{\frac {1}{\rho }}~{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}\quad ~~{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=0\quad ~~dm=\rho Svdt\quad ~~P_{\text{p}}=Svp\quad ~~F_{\text{p}}={\frac {P_{\text{p}}}{v}}=pS}

Calcul de la puissance d'une turbine (éolienne ou hydrolienne)

Calcul de la puissance à partir de l'énergie cinétique

La force appliquée sur le rotor est F c = m d V d t = d m d t Δ V = ρ S V ( V f − V w ) {\displaystyle F_{\text{c}}=m{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\Delta V=\rho SV(V_{f}-V_{w})}

P c = F c V = ρ S V 2 ( V f − V w ) {\displaystyle P_{\text{c}}=F_{\text{c}}V=\rho SV^{2}(V_{f}-V_{w})}
P c = Δ E Δ t = 1 2 ρ S V ( V f 2 − V w 2 ) {\displaystyle P_{\text{c}}={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\frac {1}{2}}\rho SV(V_{f}^{2}-V_{w}^{2})}

D'après des deux dernières équations, on en déduit V = V f + V w 2 {\displaystyle V={\frac {V_{f}+V_{w}}{2}}}

En définissant a tel que V = a V f     0 ≤ a ≤ 1     V w = V f ( 2 a − 1 )     comme     V w ≥ 0 a ≥ 1 2 {\displaystyle V=aV_{f}\quad ~~0\leq a\leq 1\quad ~~V_{w}=V_{f}(2a-1)\quad ~~{\text{comme}}~~V_{w}\geq 0\quad a\geq {\frac {1}{2}}}

P c = 4 a 2 ( 1 − a ) 1 2 ρ S V f 3 {\displaystyle P_{\text{c}}=4a^{2}(1-a){\frac {1}{2}}\rho SV_{f}^{3}} , on pose C c = 4 a 2 ( 1 − a ) {\displaystyle C_{\text{c}}=4a^{2}(1-a)}

Recherche de la puissance cinétique maximale (limite de Betz) :

d P c d t = 0     a ( 2 − 3 a ) = 0     comme     a ≥ 1 2     a = 2 3     C c = 16 27 = C Betz   ≈ 60 % {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{\text{c}}}{\mathrm {d} t}}=0\quad ~~a(2-3a)=0\quad ~~{\text{comme}}~~a\geq {\frac {1}{2}}\quad ~~a={\frac {2}{3}}\quad ~~C_{\text{c}}={\frac {16}{27}}=C_{\text{Betz}}~\approx 60\;\%}

Calcul de la puissance à partir de l'énergie potentielle

La différence de pression est égale à ( p f − p w ) = 1 2 ρ ( V w 2 − V f 2 ) = − 1 2 ρ V f 2 4 a ( 1 − a )     a v e c     V w = V f ( 2 a − 1 )     V = a V f {\displaystyle (p_{f}-p_{w})={\frac {1}{2}}\rho (V_{w}^{2}-V_{f}^{2})=-{\frac {1}{2}}\rho V_{f}^{2}4a(1-a)\quad ~~avec\quad ~~V_{w}=V_{f}(2a-1)\quad ~~V=aV_{f}}

Cette différence pression exerce sur la surface de la turbine une force | F p | = | p f − p w | S {\displaystyle |F_{\text{p}}|=|p_{f}-p_{w}|S}

La puissance de cette force due à la différence de pression est égale à | P p | = | p f − p w | S V = a ( p f − p w ) S V f = 4 a 2 ( 1 − a ) 1 2 ρ S V f 3     , o n     p o s e     C p = 4 a 2 ( 1 − a ) {\displaystyle |P_{p}|=|p_{f}-p_{w}|SV=a(p_{f}-p_{w})SV_{f}=4a^{2}(1-a){\frac {1}{2}}\rho SV_{f}^{3}\quad ~~,on~~pose\quad ~~C_{p}=4a^{2}(1-a)}

Contraintes dues à la pression

La pression appliquée sur la surface du rotor se traduit par des contraintes internes au rotor.

Pour une turbine à axe horizontal, la pression exerce sur les pales du rotor une contrainte de flexion quel que soit l'angle de rotation     β {\displaystyle ~~\beta } .

d σ d β = 0     σ   :   contrainte {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \beta }}=0\quad ~~\sigma ~:~{\text{contrainte}}}

Pour une turbine à axe vertical, la pression exerce sur les pales du rotor une contrainte qui varie en fonction de l'angle de rotation. (Pour une turbine type Darrieus, les bras supportant les pales sont comprimés pendant un demi-tour et pendant l'autre demi-tour, les bras sont étendus.)

d σ d β ≠ 0     1 2 π ∫ 0 2   π σ d β     ≈     0 | σ maxi | ≈ | σ mini | {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \beta }}\neq 0\quad ~~{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2~\pi }\sigma d\beta ~~\approx ~~0\quad |\sigma _{\text{maxi}}|\approx |\sigma _{\text{mini}}|} (approximation grossière)

Calcul de la puissance totale d'une turbine

La différence de pression p exerce sur la turbine des contraintes. Ces contraintes sont la source d'une énergie. Cette énergie est de l'énergie potentielle. La différence de pression dépend de la vitesse du fluide. (Plus la pression augmente, plus les contraintes augmentent)

Pour une turbine à axe vertical, comme l'énergie potentielle varie en fonction de l'angle de rotation et n'est pas nulle, il est possible de convertir de l'énergie potentielle en énergie cinétique.

La puissance totale de la turbine est égale à P T = ( C c + C p ) 1 2 ρ S V f 3       C p ≤ C c       ( C c + C p ) ≤ 2   ( 4 a 2 ( 1 − a ) ) {\displaystyle P_{\text{T}}=(C_{\text{c}}+C_{\text{p}}){\frac {1}{2}}\rho SV_{f}^{3}\quad ~~~C_{\text{p}}\leq C_{\text{c}}\quad ~~~(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})\leq 2~(4a^{2}(1-a))}

En posant C T   =   ( C c + C p ) {\displaystyle C_{\text{T}}~=~(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})} , La puissance totale de la turbine est égale à P T = C T 1 2 ρ S V f 3 {\displaystyle P_{\text{T}}=C_{\text{T}}{\frac {1}{2}}\rho SV_{f}^{3}}

Pour une turbine à axe horizontal, d σ d β = 0     d E p d β = 0     C T = ( C c + C p )   a v e c     C c ≤ 4 a 2 ( 1 − a )     e t     C p = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \beta }}=0\quad ~~{\frac {\mathrm {d} E_{\text{p}}}{\mathrm {d} \beta }}=0\quad ~~C_{\text{T}}=(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})\quad ~avec\quad ~~C_{\text{c}}\leq 4a^{2}(1-a)\quad ~~et\quad ~~C_{\text{p}}=0}

Pour une turbine à axe vertical sans système de conversion, C T = ( C c + C p )   a v e c     C c ≤ 4 a 2 ( 1 − a )     e t     C p = 0 {\displaystyle C_{\text{T}}=(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})\quad ~avec\quad ~~C_{\text{c}}\leq 4a^{2}(1-a)\quad ~~et\quad ~~C_{\text{p}}=0}

Pour une turbine à axe vertical avec un système de conversion, C T = ( C c + C p )   a v e c     C c ≤ 4 a 2 ( 1 − a )     e t     C p   ≤   4 a 2 ( 1 − a ) {\displaystyle C_{\text{T}}=(C_{\text{c}}+C_{\text{p}})\quad ~avec\quad ~~C_{\text{c}}\leq 4a^{2}(1-a)\quad ~~et\quad ~~C_{\text{p}}~\leq ~4a^{2}(1-a)}

Comparatif du coefficient de puissance de différentes turbines

D'après la figure comparative établie par E. Hau[3][réf. incomplète],

  • pour une turbine à axe horizontal (HAWT pour Horizontal Axis Wind Turbine en anglais) à allure rapide, le coefficient de puissance est d'environ 80 % du celui d'Albert Betz ;
  • pour une turbine à axe vertical (VAWT pour Vertical Axis Wind Turbine en anglais) de type Darrieus, le coefficient de puissance est d'environ 70 % du celui de Betz.

Calcul des différents coefficients de puissance totale

Comparaison du coefficient de puissance de différentes turbines.

En fonction du type de turbine et en imposant la valeur 2 3 ≈ 0 , 7 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\approx 0,7} à a.

C c = 4 a 2 ( 1 − a ) ≈ 60 %     C p = 4 a 2 ( 1 − a ) ≈ 60 % {\displaystyle C_{\text{c}}=4a^{2}(1-a)\approx 60\;\%\quad ~~C_{\text{p}}=4a^{2}(1-a)\approx 60\;\%}

Pour une turbine à axe horizontal, C T-HAWT = 0 , 8 C c ≈ 48 % {\displaystyle C_{\text{T-HAWT}}=0,8C_{\text{c}}\approx 48\;\%}

Pour une turbine à axe vertical sans un système de conversion, C T-VAWT = 0 , 7 C c ≈ 42 % {\displaystyle C_{\text{T-VAWT}}=0,7C_{\text{c}}\approx 42\;\%}

Pour une turbine à axe vertical avec un système de conversion, C T-VAWT-conversion = 0 , 7 C c + 0 , 6     0 , 7 C p ≈ 67 % {\displaystyle C_{\text{T-VAWT-conversion}}=0,7C_{\text{c}}+0,6~~0,7C_{\text{p}}\approx 67\;\%}

En considérant un rendement de 60 % pour la conversion d'énergie potentielle en énergie mécanique, les coefficients de puissance de différents types de turbines peuvent être comparés (voir figure)[4],[5],[6],[7],[2],[8].

Calcul du gain de puissance d'une turbine VAWT avec un système de conversion par rapport à une turbine HAWT

Le gain est égal à C T-VAWT-conversion − C T-HAWT C T-HAWT = 0 , 7 C c + 0 , 6     0 , 7 C p − 0 , 8 C c 0 , 8 C c ≈ 40 % {\displaystyle {\frac {C_{\text{T-VAWT-conversion}}-C_{\text{T-HAWT}}}{C_{\text{T-HAWT}}}}={\frac {0,7C_{\text{c}}+0,6~~0,7C_{\text{p}}-0,8C_{\text{c}}}{0,8C_{\text{c}}}}\approx 40\;\%}

Notes et références

  1. ↑ (de) A.Betz, « Das maximum der theoretisch moglichen ausnutzungdes windesdurch windmotoren », Zeitschrift fur das gesamteTurbinenwesen, no 26,‎ , p. 307–309.
  2. ↑ a et b (en) Pierre Lecanu, Joel Breard et Dominique Mouazé, « Simplified theory of an active lift turbine with controlled displacement », non publié,‎ (résumé, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
  3. ↑ E. Hau, Wind-Turbines, Springer, 2000.
  4. ↑ (en) Chao LiYiqing XiaoY.-L. XuSongye ZhuSongye Zhu Optimization of blade pitch in H-rotor vertical axis wind turbines through computational fluid dynamics simulationst, 2018.
  5. ↑ (en) Jack Denur Pressure Gradient, Power, and Energy of Vortices , 2018
  6. ↑ Ayman Al-Quraan, Ted Stathopoulos, Pragasen Pillay, Comparison of wind tunnel and on site measurements for urban wind energy estimation of potential yield, 2018.
  7. ↑ (en) Lecanu, Pierre and Breard, Joel and Mouazé, Dominique, Theoretical calculation of the power of wind turbine or tidal turbine, octobre 2019.
  8. ↑ (en) Lecanu, Pierre and Breard, Joel and Mouazé, Dominique, Operating principle of an active lift turbine with controlled displacement, 2018.

Articles connexes

  • Éolienne
  • Limite de Betz
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