Catégorie des relations

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En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des relations, notée Rel, est la catégorie dont les objets sont les ensembles et dont les morphismes sont les relations binaires entre ces ensembles.

La composition de deux relations R ⊆ A × B et S ⊆ B × C est donné par

(a, c) ∈ S o R ⇔ ∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R et (b, c) ∈ S[1].

Propriétés générales

Rel est isomorphe à Relop, en effet, on peut associer uniquement à toute relation sa relation réciproque[2].

Produit cartésien

Rel est une catégorie cartésienne:

  • L'objet terminal est l'ensemble vide.
  • Le produit cartésien pour une famille ( E i ) i ∈ I {\displaystyle (E_{i})_{i\in I}} est donné par:

Π i ∈ I E i = ∪ i ∈ I ( { i } × E i ) {\displaystyle \Pi _{i\in I}E_{i}=\cup _{i\in I}(\{i\}\times E_{i})}
Les projections sont elles données par:

π i   :   Π i ∈ I E i → E i π i = { ( ( i , e ) , e )   |   e ∈ E i } {\displaystyle {\begin{aligned}&\pi _{i}\ :\ \Pi _{i\in I}E_{i}\to E_{i}\\&\pi _{i}=\{((i,e),e)\ |\ e\in E_{i}\}\end{aligned}}}

Références

  1. ↑ (en) S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, New York, Springer-Verlag, , 1re éd., 262 p. (ISBN 0-387-90035-7), p. 26
  2. ↑ Awodey, Steve, 1959-, Category theory, Oxford University Press, (ISBN 978-0-19-155324-0 et 0-19-155324-7, OCLC 740446073, lire en ligne)
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