Extension des morphismes et des places dans les anneaux intègres et les corps

1. Si A' est de type fini sur A, on peut démontrer ce résultat par induction. Mais comme cela n'est pas supposé, on doit utiliser un argument de type transfini, comme la récurrence transfinie ou le lemme de Zorn.

Ordonnons l'ensemble E des couples (M, ͠φ), où M est un sous-anneau de A' contenant A, et ͠φ est une extension de φ à M dans une extension entière de B incluse dans Ω, par l'ordre partiel suivant :

Toute partie S de E totalement ordonnée admet un majorant dans E, qui n'est autre que l'anneau égal à l'union des corps composant les éléments de S, combiné à l'unique morphisme qui coïncide avec chacun des morphismes composant les éléments de S. En conséquence, le lemme de Zorn implique que E contient un élément maximal. Notons le (M, ͠φ), et notons M' l'image de M par ͠φ (M' est une extension entière de B incluse dans Ω par construction). Il s'agit de montrer que M est égal à A'.

Si tel n'était pas le cas, il existerait un élément entier x dans A' n'appartenant pas à M. Soit P le polynôme minimal (unitaire) de x sur le corps des fractions K de A. On va d'abord montrer que les coefficients de P appartiennent a A. Puisque x est entier sur A, il existe un polynôme unitaire Q ∈ A[X] qui annihile x, et qui est donc divisible par P dans K. Désignons par x, x', x"... les racines de P ; ainsi

Puisque ces racines sont aussi racines de Q, elles sont toutes entières sur A. Par conséquent, les coefficients de P, égaux, au signe près, aux fonctions symétriques élémentaires de x, x', x"... , sont aussi entiers sur A (voyez l'article Élément entier ou Théorème fondamental des fonctions symétriques, Exemple 1). Mais ils appartiennent à K, et A est intégralement clos, donc ils appartiennent en fait à A, ce qui démontre l'assertion proposée.

Maintenant, soit P^φ l'image de P par φ, obtenue en appliquant φ aux coefficients de P. En vertu du théorème d'extension des morphismes dans les extensions transcendantes (voir supra), on voit qu'un polynôme Q divise P si et seulement si Q^φ divise P^φ. Soit y ∈ Ω une racine de P^φ dans une extension algébrique du corps des fractions de M'. Puisque P^φ est, comme P, unitaire, y est entier sur M'. On peut étendre ͠φ en un morphisme de M(x) dans M' (y), en définissant ͠φ(T(x)) = T^φ(y), pour tout polynôme T à coefficients dans M. Cette extension est bien définie car si T(x) = T' (x), alors P divise T - T', donc P^φ divise T^φ - T'^φ, et cela implique T^φ(y) = T' ^φ (y). Le fait que cette extension de ͠φ à M(x) est bien un morphisme suit directement du fait que ͠φ s'étend en un morphisme de M(X) dans M' (X), par simple substitution.

L'existence de cette extension de ͠φ à un anneau M(x) d'entiers sur A, dans M' (y), lui aussi composé d'entiers sur B, contredit la maximalité de (M, ͠φ). Par conséquent M = L.

2. Supposons que φ est injectif et que ͠φ est une extension de φ à A', à valeurs dans une extension entière de B. Si x ∈ A' et x ≠ 0, notons P le polynôme minimal de x sur le corps des fractions de A. On a vu que les coefficients de P appartiennent à A. Puisque P est irréductible et P(x) = 0, P^͠φ est irréductible et P^͠φ(͠φ(x)) = 0. Donc le polynôme minimal de ͠φ(x) est P^͠φ = P^φ, et il s'ensuit que ͠φ(x) ≠ 0 (sans quoi le coefficient constant de P serait égal à 0). Donc ͠φ est injectif.

Démonstration du corollaire :

D'abord, on peut vérifier mentalement que φ s'étend en un morphisme injectif de K dans K' par la formule

D'autre part, puisque L est un corps, L est trivialement un anneau d'entiers sur K. D'après le théorème précédent, on en conclut que φ admet une extension injective à L, à valeurs dans une extension algébrique de K'.

Le fait que 𝔭 soit un idéal premier de A peut se vérifier mentalement. On définit l'extension ͠φ de φ à A_𝔭 par φ(a/b) = φ(a)/φ(b) ce qui est licite puisque b n'appartient pas à 𝔭. ͠φ est bien définie car a/b = c/d si et seulement si ad = bc, d'où φ(a) φ(d) = φ(b) φ(c). En utilisant les lois d'addition et de produit des fractions, on vérifie que ͠φ est bien un morphisme d'anneaux.

Si x est transcendant sur K, alors φ s'étend de façon immédiate à A[x], en posant par exemple φ(x) = 0. On suppose donc que x est algébrique sur K.

En notant 𝔭 le noyau de φ, φ s'étend en un morphisme de A_𝔭 dans F (section Extension par localisation). On peut donc supposer sans perte de généralité que A est un anneau local, d'idéal maximal 𝔭, égal au noyau de φ. En particulier, l'anneau K = A/𝔭 est un corps, isomorphe à φ(A) par le premier théorème d'isomorphisme. Sous cet isomorphisme, l'application φ s'identifie au morphisme d'inclusion x ${\displaystyle \mapsto }$ x + 𝔭. L'idée de la démonstration consiste à trouver un idéal maximal m de A[x] ou A[1/x] contenant 𝔭, de sorte que l'application x ${\displaystyle \mapsto }$ x + m étende ledit morphisme d'inclusion (et donc l'application φ) au corps A[x]/m ou A[1/x]/m.

On va d'abord prouver que l'un au moins des deux idéaux A[x]𝔭 ou A[1/x]𝔭 est différent de A[x] ou A[1/x]. Si tel n'était le cas, il existerait des entiers positifs m et n, et des éléments a_i et b_j de 𝔭 tels que

On peut supposer que m et n sont minimaux, parmi tous les entiers qui satisfont cette propriété. Vu que φ(1-a₀) = φ(1) = 1, l'élément 1 - a₀ de A n'appartient pas à 𝔭, donc est une unité dans A (A est local en 𝔭). Concernant la première équation dans (*), faisons passer a₀ dans le membre de gauche, et divisons les deux membres par 1 - a₀ dans A. On obtient une relation de la forme

Le même argument appliqué à l'autre équation fournit une relation de la forme

Supposons par exemple que m ≥ n, l'autre cas se traitant de manière similaire. On peut multiplier cette dernière équation par c_mx^m et obtenir une équation de la forme

En substituant dans la première équation de (*), on obtient alors une relation de la forme

en contradiction avec la minimalité de m. Ainsi, l'un au moins des deux idéaux A[x]𝔭 ou A[1/x]𝔭 est strictement contenu dans A[x] ou A[1/x] resp. En échangeant éventuellement x et 1/x, on peut supposer que A[x]𝔭 ⊊ A[x].

Le théorème de Krull assure que A[x]𝔭 est contenu dans un idéal maximal propre m de A[x]. En particulier, L = A[x]/m est un corps, et l'application x + 𝔭 ${\displaystyle \mapsto }$ x + m est un morphisme injectif de K = A/𝔭 dans L, qui identifie le corps K à un sous corps de L. On voit donc que l'application ͠φ : x ${\displaystyle \mapsto }$ x + m étend l'application x ${\displaystyle \mapsto }$ x + 𝔭, laquelle s'identifie à φ.

Enfin, L = K[ ͠φ(x)], puisque ͠φ(x) = x + m, donc K[ ͠φ(x)] est un corps. Il s'ensuit que ͠φ(x) est algébrique sur K, et donc sur F. Ainsi, ͠φ est a valeurs dans une extension algébrique de F.

1. Vu qu'un corps commutatif est aussi un anneau intègre intégralement clos, la démonstration de cette assertion a déjà été faite dans la section Extension des morphisme d'anneaux intégralement clos. En fait, cette démonstration se simplifie même un peu, car le fait que les coefficients de P appartiennent à K est ici acquis d'emblée.

2. Cette assertion est démontrée dans l'article Extension séparable.

Les trois premières assertions sont triviales. L'ensemble 𝒪_φ est évidemment un anneau, et si x ∈ 𝒪_φ, alors x ou 1/x sont finis (par la troisième conséquence). Donc 𝒪_φ est bien un anneau de valuation. L'ensemble 𝔭 tel qu'il est défini est évidemment un idéal de 𝒪_φ. S'il n'était maximal, il existerait x dans un idéal propre 𝔭' de 𝒪_φ contenant 𝔭, tel que φ(x) ≠ 0. Mais alors 1/x appartiendrait à 𝒪_φ, donc aussi 1 = x ${\displaystyle \cdot }$ 1/x, et p' serait égal à 𝒪_φ tout entier, une contradiction.

Les deux premières propriétés sont immédiates. Pour voir que 𝒪_φ est intégralement clos, considérons un élément x dans K n'appartenant pas à 𝒪_φ, et supposons que x est racine d'un polynôme unitaire P à coefficient dans 𝒪_φ, disons Xⁿ + a_n-1 X^n-1 +... + a₀. Puisque φ(x) = ∞, φ(1/x) = 0. Mais en divisant P par Xⁿ on trouve que a₀ 1/xⁿ +... + a_n-11/x + 1 = 0. En appliquant φ aux deux membres de cette équation, on aboutit à la contradiction : φ(1) = 0. Donc x ne peut être racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans 𝒪_φ.

1. Ordonnons l'ensemble E des couples (B, ͠φ), où B est un sous-anneau de K contenant A, et ͠φ est une extension de φ à B dans Ω, par l'ordre partiel suivant :

Toute partie S de E totalement ordonnée admet un majorant dans E, qui n'est autre que l'anneau égal à l'union des anneaux composant les éléments de S, combiné à l'unique morphisme qui coïncide avec chacun des morphismes composant les éléments de S. En conséquence, le lemme de zorn implique que E contient un élément maximal. Notons le (B, ͠φ) (l'image de ͠φ est contenue dans Ω par construction). Par le théorème d'extension disjonctive, pour tout x appartenant à L, l'un au moins des deux éléments x ou 1/x appartient à B, sans quoi le couple (B, ͠φ) ne serait pas maximal. Par conséquent B est un anneau de valuation, dont le corps des fractions est L. Si l'idéal Ker( ͠φ) n'était maximal dans B, il serait contenu dans un idéal maximal I de B, et l'injection canonique x ${\displaystyle \mapsto }$ x + I de B dans B/I s'identifierait à une extension propre de ͠φ, encore une contradiction avec la maximalité du couple (B, ͠φ). Ainsi, Ker(͠φ) est l'unique idéal maximal de B, et on en tire facilement que si x est dans B et vérifie ͠φ(x) ≠ 0, alors 1/x l'est aussi et vérifie ͠φ(1/x) = 1/ ͠φ(x). Il ne reste donc qu'à définir ͠φ sur L - B, c'est-à-dire sur l'ensemble des éléments x de L tels que ͠φ(1/x) = 0. Pour un tel élément x, on pose ͠φ(x) = ∞. Notons qu'il existe au moins un tel x car le morphisme φ est supposé non injectif. On vérifie sans peine que l'application ͠φ, définie de cette manière, satisfait aux axiomes de définition des places.

2. La restriction de φ à son anneau de valuation 𝒪_φ, ensemble des éléments sur lesquels la place φ est finie, est évidemment un homomorphisme de 𝒪_φ dans Ω. D'après le n^o 1, il s'étend en une place ͠φ de L dans Ω. Mais pour tout x dans K, φ(x) ≠ ∞ implique évidemment ͠φ(x) ≠ ∞, et φ(x) = ∞ implique φ(1/x) = 0, d'où ͠φ(1/x) = 0, et donc ͠φ(x) = ∞. Ainsi ͠φ(x) = ∞ si et seulement si φ(x) = ∞. ͠φ étend donc la place φ tout entière et pas seulement sa restriction à O_φ .

1. ↑ (en) Moshe Jarden (en), Intersections of local algebraic extensions of a Hilbertian field, p. 20, Lemma 5.3. lire en ligne (article n^o 56).
2. ↑ Le contenu de cette section est basé sur (en) Michael Fried et Moshe Jarden, Field Arithmetic, Springer, 2008, 3^e éd., chap. 2 (« Valuations and Linear Disjointness »).
3. ↑ Jarden, Proposition 5.3, p. 21.