Forme symplectique

Une forme symplectique est un objet mathématique à la base de la géométrie symplectique et intervenant - avec des caractéristiques différentes - dans les espaces vectoriels ; dans les fibrés vectoriels ; sur les variétés différentielles.

Espace vectoriel symplectique

Article détaillé : Espace vectoriel symplectique.

En algèbre linéaire, une forme symplectique sur un espace vectoriel V {\displaystyle V} est une forme bilinéaire non dégénérée alternée ω : V × V → R {\displaystyle \omega :V\times V\to \mathbb {R} } . Un espace vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé espace vectoriel symplectique.

Exemples :

  • ( R 2 n , ω ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega )} où ω = ∑ k = 1 n e k ∗ ∧ f k ∗ {\displaystyle \omega =\sum _{k=1}^{n}e_{k}^{*}\wedge f_{k}^{*}} , pour ( e k ∗ , f k ∗ ) k = 1 , . . . , n {\displaystyle (e_{k}^{*},f_{k}^{*})_{k=1,...,n}} la base duale canonique de R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} , est un espace vectoriel symplectique.
  • Si W {\displaystyle W} est un espace vectoriel réel et V := W ⊕ W ∗ {\displaystyle V:=W\oplus W^{*}} alors ( V , ω ) {\displaystyle (V,\omega )} est un espace vectoriel symplectique pour ω ( ( w 1 ⊕ α 1 ) , ( w 2 ⊕ α 2 ) ) := α 1 ( w 2 ) − α 2 ( w 1 ) {\displaystyle \omega ((w_{1}\oplus \alpha _{1}),(w_{2}\oplus \alpha _{2})):=\alpha _{1}(w_{2})-\alpha _{2}(w_{1})} où w 1 , w 2 ∈ W {\displaystyle w_{1},w_{2}\in W} et α 2 , α 2 ∈ W ∗ {\displaystyle \alpha _{2},\alpha _{2}\in W^{*}}

Fibré symplectique

Article détaillé : Fibré vectoriel symplectique.

En géométrie différentielle, une forme symplectique sur un fibré vectoriel réel E → M {\displaystyle E\to M} est une section globale lisse ω {\displaystyle \omega } du fibré E ∗ ∧ E ∗ → M {\displaystyle E^{*}\wedge E^{*}\to M} qui est non dégénérée fibre par fibre. Un fibré vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé fibré vectoriel symplectique.

Remarques :

  • Une forme symplectique de fibré symplectique est une famille lisse { ω x } x ∈ M {\displaystyle \{\omega _{x}\}_{x\in M}} de formes symplectiques d'espaces vectoriels dont les espaces vectoriels en question sont les fibres E x {\displaystyle E_{x}} du fibré E → M {\displaystyle E\to M} .

Exemples :

  • Si F → M {\displaystyle F\rightarrow M} est un fibré vectoriel réel et E := F ⊕ F ∗ {\displaystyle E:=F\oplus F^{*}} alors ( E , ω ) {\displaystyle (E,\omega )} , où
ω x ( ( w 1 ⊕ α 1 ) , ( w 2 ⊕ α 2 ) ) := α 1 ( w 2 ) − α 2 ( w 1 ) , ∀ x ∈ M , ∀ w 1 , w 2 ∈ F x , ∀ α 2 , α 2 ∈ F x ∗ {\displaystyle \omega _{x}((w_{1}\oplus \alpha _{1}),(w_{2}\oplus \alpha _{2})):=\alpha _{1}(w_{2})-\alpha _{2}(w_{1}),\quad \forall x\in M,\;\forall w_{1},w_{2}\in F_{x},\;\forall \alpha _{2},\alpha _{2}\in F_{x}^{*}} ,

est un fibré vectoriel symplectique sur M {\displaystyle M} .

Ce dernier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.

Variété symplectique

Article détaillé : Variété symplectique.

Toujours en géométrie différentielle, une forme symplectique sur une variété différentielle M {\displaystyle M} est une 2-forme différentielle ω {\displaystyle \omega } qui est :

  1. fermée (au sens de la différentielle extérieure), i.e. d ω = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}  ;
  2. non dégénérée (fibre par fibre), i.e. pour tout v ∈ T M {\displaystyle v\in TM} non nul, ω ( v , ⋅ ) {\displaystyle \omega (v,\cdot )} est non nul.

Une variété différentielle munie d'une forme symplectique est nommé variété symplectique.

Remarques :

  • La forme symplectique ω {\displaystyle \omega } d'une variété symplectique ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} est aussi une forme symplectique de fibré vectoriel dont le fibré en question est le fibré tangent T M {\displaystyle TM} de la variété différentielle M {\displaystyle M} . Toutefois, ici, on ajoute la condition de fermeture d ω = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega =0} . Lorsque ω {\displaystyle \omega } est une forme symplectique pour le fibré T M {\displaystyle TM} mais qu'elle ne vérifie pas forcément la condition de fermeture d ω = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega =0} , la paire ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} est dit être une variété presque-symplectique.
  • La condition d'être fermée d'une forme symplectique ω {\displaystyle \omega } d'une variété symplectique ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} implique, par le théorème de Darboux, qu'autour de tout point x {\displaystyle x} de M {\displaystyle M} il existe un système de coordonnées locales ( p k , q k ) k = 1 , . . . , dim ⁡ M {\displaystyle (p_{k},q_{k})_{k=1,...,\dim M}} tel que ω {\displaystyle \omega } s'y écrive de manière canonique ∑ k = 1 dim ⁡ M d p k ∧ d q k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\dim M}\mathrm {d} p_{k}\wedge \mathrm {d} q_{k}} .
  • L'existence des formes symplectiques sur les variétés différentielles est une question ouverte.

Exemples :

  • Si ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} est une variété symplectique de dimension 2 n {\displaystyle 2n} , et que P {\displaystyle P} est une sous-variété différentielle de M {\displaystyle M} , alors :
    • Le fibré tangent de M {\displaystyle M} se restreint en un fibré de rang 2 n {\displaystyle 2n} sur P {\displaystyle P} , noté T P M → P {\displaystyle T_{P}M\rightarrow P} . Et ( T P M , ω | T P M ) {\displaystyle (T_{P}M,\omega |_{T_{P}M})} est un fibré symplectique sur P {\displaystyle P} .
    • Si en tout point x {\displaystyle x} de P {\displaystyle P} , la forme bilineaire ω x {\displaystyle \omega _{x}} est non dégénérée en restriction à l'espace tangent T x P {\displaystyle T_{x}P} , alors ( P , ω | T P P ) {\displaystyle (P,\omega |_{T_{P}P})} est une variété symplectique.

Voir aussi

Bibliographie

  • icône décorative Portail de la géométrie