Forme trace

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En mathématiques la forme trace est un concept associé à la théorie de Galois et à la théorie algébrique des nombres.

Si L est une extension finie d'un corps commutatif K, la forme trace est la forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L, qui fait correspondre au couple (x, y) la trace de l'application linéaire t ↦ xyt, de L dans L.

Dans le cas d'un anneau d'entiers algébriques d'un corps de nombres (c'est-à-dire d'une extension finie du corps ℚ des rationnels), la forme trace possède une propriété remarquable : son déterminant ne dépend pas de la base choisie. Cette propriété permet de définir le discriminant d'un tel anneau.

La forme trace, à travers la notion de discriminant, permet d'établir des démonstrations d'arithmétique comme la finitude du groupe des classes d'idéaux ou le théorème des unités de Dirichlet.

Définition et exemple

Définition 1

Ici, K est un corps commutatif, L une extension finie, α un élément de L et φ_α l'endomorphisme du K-espace vectoriel L qui, à x, associe αx.

• La trace de L sur K de l'élément α est la trace de l'endomorphisme φ_α. Elle est en général notée Tr_L/K(α).

Ceci permet de définir une forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L :

• La forme trace de L sur K est l'application de L × L dans K qui, à (x, y), associe la trace de xy.

Exemple 1

Le corps ℚ(i) des rationnels de Gauss est le corps quadratique constitué des nombres de la forme z = x + iy, où x et y sont des rationnels et i l'unité imaginaire. Dans la base (1, i), la matrice de φ_z est :

${\displaystyle M_{z}={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}}$

donc la trace de z (relative à l'extension) est le double de sa partie réelle.

On en déduit, si a (resp. b) est un rationnel de Gauss égal à α + iβ (resp. γ + iδ) et Ψ désigne la matrice dans la base (1, i) de la forme trace :

${\displaystyle {\text{Tr}}_{\mathbb {Q} (\mathrm {i} )/\mathbb {Q} }(a,b)=2{\text{Re}}(ab)=2\alpha \gamma -2\beta \delta \quad {\text{donc}}\quad \Psi ={\begin{pmatrix}2&0\\0&-2\end{pmatrix}}.}$

Propriétés de la trace

Le premier énoncé concerne le cas où L est une extension simple K(α). Les racines d'un polynôme unitaire sont considérées ici dans une extension où il est scindé, et sont répétées en cas de multiplicité (leur somme est donc l'opposé du coefficient sous-dominant de ce polynôme).

Lien avec les éléments conjugués — Si λ₁, λ₂, …, λ_n désignent les racines du polynôme minimal de α sur K alors, pour tout polynôme Q à coefficients dans K,

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{K(\alpha )/K}(Q(\alpha ))=\sum _{k=1}^{n}Q(\lambda _{k}).}$

Cette première propriété permet d'établir les comportements diamétralement opposés de la forme trace, selon que l'extension est séparable (ci-dessous) ou ne l'est pas (plus loin) :

Alternativement, le second point se déduit immédiatement de la propriété suivante, utile par ailleurs :

Démonstration^[3]

Notons M = (m_i,j) cette matrice et, à nouveau, λ₁, λ₂, …, λ_n les racines du polynôme minimal P de α. Alors, d'après la première propriété de cette section :

${\displaystyle \forall i,j\in [1,n]\quad m_{i,j}={\text{Tr}}_{K(\alpha )/K}(\alpha ^{i+j})=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}^{i+j}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}^{i}\lambda _{k}^{j}\quad {\text{donc}}\quad M={}^{t}\Lambda ~\Lambda ,}$

en désignant par Λ la matrice dont le terme d'indice (k, i) est égal à λ_kⁱ. Or Λ est une matrice de Vandermonde, si bien que

${\displaystyle \det \Lambda =\prod _{i<j}(\lambda _{j}-\lambda _{i})\quad {\text{donc}}\quad \det M=(\det \Lambda )^{2}=\prod _{i<j}(\lambda _{j}-\lambda _{i})^{2}=\Delta (P).}$

Le calcul immédiat de la trace d'une matrice par blocs permet d'établir :

Formule de composition — Pour toute extension intermédiaire F,${\displaystyle \mathrm {Tr} _{L/K}=\mathrm {Tr} _{F/K}\circ \mathrm {Tr} _{L/F}}$^[4].

Grâce à la première propriété, on en déduit :

Discriminant d'un anneau

Définition 2

Dans cette partie, A désigne un anneau intègre dont le groupe additif est un ℤ-module libre de rang fini n. La définition ci-dessous s'applique aussi à tout sous-anneau (non nécessairement unifère) de A, qui est encore un ℤ-module libre, de rang fini inférieur ou égal à n.

Les matrices de changement de base de ces modules étant dans un groupe linéaire sur ℤ, leurs déterminants valent ±1. Le changement de base d'une forme bilinéaire ne modifie pas le déterminant, ce qui donne un sens à la définition suivante :

Le discriminant Δ_A de l'anneau A est le déterminant de sa forme trace.

L'anneau O_K des entiers algébriques d'un corps de nombres K de degré n est le prototype de cette situation (cf. § « Propriétés noethériennes » de l'article « Entier algébrique »). En notant σ₁, … , σ_n les plongements de K dans ℂ (ou dans une extension normale de K) et (b₁, … b_n) une ℤ-base quelconque de O_K,

${\displaystyle \Delta _{O_{K}}=\det(B^{2})\quad {\text{où}}\quad B={\begin{pmatrix}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{pmatrix}}}$

car Tr_K/ℚ(b_ib_j) = ∑_k σ_k(b_ib_j) = ∑_k σ_k(b_i)σ_k(b_j) = ∑_k B_ki B_kj = (^tBB)_ij où ^tB désigne la transposée de la matrice B. Donc det(Tr_K/ℚ(b_ib_j)) = det(^tBB) = det(B)².

Exemple 2

Si d ≠ 1 est un entier sans facteur carré, l'anneau des entiers du corps quadratique K = ℚ(√d) est O_K = ℤ[ω] avec ω = (1 + √d)/2 si d est congru à 1 modulo 4, et ω = √d sinon (√d désignant l'une des deux racines carrées de d, dans ℂ si d < 0). Une base de ce ℤ-module est (1, ω) donc, en notant σ(ω) l'élément conjugué de ω :

${\displaystyle \Delta _{\mathbb {Z} [\omega ]}=\left|{\begin{matrix}1&\omega \\1&\sigma (\omega )\end{matrix}}\right|^{2}={\begin{cases}d&{\text{si }}d\equiv 1{\pmod {4}},\\4d&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

En effet, ω – σ(ω) est égal à √d si d est congru à 1 modulo 4 et à 2√d sinon.

Pour d = –1, on trouve ainsi que le discriminant de l'anneau ℤ[i] des entiers de Gauss est égal à –4, qui est bien le déterminant de la matrice Ψ de l'exemple 1 ci-dessus.

On calcule de même, plus généralement, le discriminant de ℤ[ω] pour n'importe quel entier algébrique ω (cf. § « Discriminant et polynôme » ci-dessous).

Propriétés

Discriminant et polynôme

Soient a un entier algébrique et ℤ[a] la ℤ-algèbre engendrée par a. Une propriété ci-dessus de la trace montre que :

Le discriminant de ℤ[a] est égal au discriminant du polynôme minimal de a.

Par exemple, le discriminant de ℤ[i], égal à –4 (§ « Exemple 2 » ci-dessus), est égal au discriminant du polynôme X² + 1, qui est le polynôme minimal de i.

Discriminant d'un idéal

Soit J un idéal non nul de A. Son groupe additif est un ℤ-sous-module libre de rang égal au rang n de A puisque J contient le sous-module αA, de rang n, pour n'importe quel α non nul dans J. On définit sa norme N(J) comme la valeur absolue du déterminant d'une base de J dans une base de A. De la formule de changement de base pour une forme bilinéaire, on déduit alors immédiatement :

Le discriminant d'un idéal non nul J de A est donné par la formule suivante :

${\displaystyle {\text{discr}}(J)=(N(J))^{2}~{\text{discr}}(A).}$

Détails

Soient f un isomorphisme de ℤ-modules de A dans J et F sa matrice dans une base B de A. Si x et y sont deux vecteurs de J et X et Y leurs vecteurs colonnes dans la base de J, image de B par f, on a l'égalité matricielle :

${\displaystyle {\text{Tr}}(x,y)=^{\operatorname {t} }\!\!(FX)~T~(FY)=^{\operatorname {t} }\!\!X(^{\operatorname {t} }\!F~T~F)Y.}$

On en déduit :

${\displaystyle {\text{discr}}(J)=\det(^{\operatorname {t} }\!F~T~F)=\det(F)^{2}~\det(T)=(N(J))^{2}~{\text{discr}}(A).}$

Le même argument montre que^[6] dans un corps de nombres K de degré n, pour qu'un sous-anneau de O_K de rang n soit égal à l'anneau tout entier, il est suffisant (mais non nécessaire : cf. cas d ≢ 1 mod 4 de l'exemple 2 ci-dessus) que son discriminant soit sans facteur carré ; par exemple pour K = ℚ(ξ) où ξ est une racine de X³ – X – 1, ceci prouve que O_K est réduit à ℤ[ξ], dont le discriminant vaut (d'après le § précédent) –(4(–1)³ + 27(–1)²) = –23.

Critère de ramification

Soient (comme dans le § « Définition 2 » ci-dessus) K un corps de nombres et O_K son anneau des entiers. C'est un anneau de Dedekind donc tout idéal y est produit, de façon unique, d'idéaux premiers, en particulier tout idéal engendré par un entier relatif.

On dit qu'un nombre premier p est ramifié dans K si, dans la décomposition pO_K = P₁^e(1) … P_k^e(k) où les P_i sont des idéaux premiers distincts dans O_K, au moins un e(i) est strictement supérieur à 1.

Lorsque K est un corps quadratique ou cyclotomique ou, plus généralement, un corps monogène (en), c'est-à-dire lorsque O_K est de la forme ℤ[a], ceci a donc lieu exactement quand p divise le discriminant de O_K (cf. § Discriminant et polynôme ci-dessus). Plus généralement :

En particulier, sur tout corps de nombres K, il n'y a qu'un ensemble fini de nombres premiers ramifiés. De plus, si K est différent de ℚ, il y en a toujours au moins un d'après le théorème suivant, démontré dans l'article sur le groupe des classes à l'aide du théorème de Minkowski :

Théorème de la borne de Minkowski — Pour tout corps de nombres K de degré n, toute classe d'idéaux contient un idéal de O_K de norme majorée par${\displaystyle \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}{\sqrt {|\Delta _{O_{K}}|}},}$où 2r₂ est le nombre de « plongements complexes » de K.

Ce théorème prouve en effet que si n > 1 alors |Δ_OK| > 1, puisque la norme d'un idéal non nul vaut au moins 1 et que (par récurrence) pour tout n ≥ 2, (π/4)^n/2nⁿ/n! > 1.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Algèbre de Frobenius
• Différente
• Théorème d'Hermite-Minkowski

Bibliographie

• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]

Liens externes

• Bas Edixhoven et Laurent Moret-Bailly, Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques, université de Rennes I, 2004 (lire en ligne)
• Loïc Merel, Nombres algébriques et nombres p-adiques, cours préparatoire aux études doctorales 2003-04

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