Groupe spécial orthogonal

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En mathématiques, le groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique q est un sous-groupe de son groupe orthogonal O(q). Il est constitué des éléments dont le déterminant est +1, en supposant que la forme quadratique est non dégénérée et que la caractéristique du corps de base est différente de 2. Ce sous-groupe, noté SO(q), est donc normal et même d'indice 2 (autrement dit, la composition dans O(q) suit la règle des signes : le composé de deux éléments est dans SO(q) si et seulement si ces éléments sont tous deux dans SO(q) ou tous deux dans son complémentaire).

Sur les réels à n dimensions, on le note couramment S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} , et moins couramment S O ( n , R ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {R} )} , le deuxième paramètre de la notation S O {\displaystyle \mathrm {SO} } étant le corps de base de ce groupe. On dit aussi que c'est le groupe des matrices de rotations à n dimensions. Les réflexions (par rapport à un hyperplan vectoriel) sont des exemples de transformations orthogonales de déterminant –1 ; la composée d'un nombre pair de telles transformations est une rotation.

Sur un espace vectoriel à n dimensions, les applications linéaires (identifiables aux matrices) forment elles-mêmes un espace à n 2 {\displaystyle n^{2}} dimensions, mais parmi celles-ci, le groupe S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} n'a que n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(n-1)/2} degrés de liberté. C'est pourquoi une rotation en 2 dimensions s'exprime par un nombre seul alors que pour une rotation en 3 dimensions, on doit utiliser 3 nombres (voir « Angles d'Euler »).

Groupe spécial orthogonal du plan euclidien

Le groupe spécial orthogonal dans R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , c'est-à-dire le groupe S O ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (2)} , est le groupe des rotations vectorielles planes, homéomorphe au cercle unité.

Matriciellement, il s'écrit :

S O ( 2 ) = { ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) | 0 ≤ θ < 2 π } {\displaystyle SO(2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right|0\leq \theta <2\pi \right\}} .
Démonstration

Tout endomorphisme de R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} peut être représenté par une matrice

( a b c d ) ∈ M 2 ( R ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )} .

Cette matrice est orthogonale si et seulement si ses deux colonnes sont des vecteurs unitaires orthogonaux, c'est-à-dire :

a 2 + c 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+c^{2}=1} , b 2 + d 2 = 1 {\displaystyle b^{2}+d^{2}=1} et a b + c d = 0 {\displaystyle ab+cd=0} ,

ce qui équivaut à

a 2 + c 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+c^{2}=1} et ( b , d ) = ± ( − c , a ) {\displaystyle (b,d)=\pm (-c,a)} .

Pour que cette matrice appartienne non seulement à O ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {O} (2)} mais à S O ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (2)} , il faut de plus que son déterminant soit égal à 1, c'est-à-dire ( b , d ) = + ( − c , a ) {\displaystyle (b,d)=+(-c,a)} . On a donc bien :

S O ( 2 ) = { ( a − c c a ) | a , c ∈ R , a 2 + c 2 = 1 } = { ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) | 0 ≤ θ < 2 π } {\displaystyle SO(2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&-c\\c&a\end{pmatrix}}\right|a,c\in \mathbb {R} ,\quad a^{2}+c^{2}=1\right\}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right|0\leq \theta <2\pi \right\}} .

Applications en physique

En physique des particules, SO(10) est l'un des groupes proposés pour structurer la grande unification[1].

Notes et références

  1. ↑ (en) A. Zee, chap. V.4 « Grand unification », dans Quantum Field Theory, as Simple as Possible, , 372 p. (ISBN 978-0-691-17429-7 et 978-0-69123927-9), p. 258-259.
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