Magma (algèbre)

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En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Définitions

Un magma est un ensemble ${\displaystyle M}$ muni d'une loi de composition interne ${\displaystyle \star }$, noté alors ${\displaystyle (M,\star )}$ ou simplement ${\displaystyle M}$.

Aucun axiome n'est imposé. La loi de composition peut être notée additivement, multiplicativement, mais aussi sans aucun signe, par simple juxtaposition.

On dit que le magma ${\displaystyle (M,\star )}$ est :

• unifère s'il possède un élément neutre ${\displaystyle e}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \forall x\in M,\ e\star x=x\star e=x}$ ;
• un demi-groupe (ou associatif) si ${\displaystyle \star }$ est associative ;
• un monoïde s'il vérifie les deux propriétés (associativité et existence d'un élément neutre)^[1].

Si ${\displaystyle (M,\cdot )}$ et ${\displaystyle (N,\star )}$ sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de ${\displaystyle (M,\cdot )}$ dans ${\displaystyle (N,\star )}$ est par définition^[2] une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait

${\displaystyle \qquad f(x\cdot y)=f(x)\star f(y).}$

Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de ${\displaystyle (N,\star )}$ dans ${\displaystyle (M,\cdot )}$ et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.

Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.

Exemples de magmas

• Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier.
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$ est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier.
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,-)}$ est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier.
• On appelle magma opposé au magma ${\displaystyle M=(E,\star )}$ le magma ${\displaystyle M^{op}=(E,\boxplus )}$ où ${\displaystyle x\boxplus y=y\star x}$ pour tous ${\displaystyle (x,y)\in E^{2}}$.
• Magma quotient

• Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments ${\displaystyle \{0,1,2\}}$ muni de la loi interne ${\displaystyle \star }$ ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie^[3].

Magma {0,1,2} muni de ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle \star }$	0	1	2
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	2	2

• La structure d'anneau fait intervenir deux lois de composition internes sur un même ensemble, et donc deux magmas.

Magma libre construit sur un ensemble

Pour tout ensemble ${\displaystyle X}$, il est possible de construire un ensemble ${\displaystyle M_{X}}$ qui contient ${\displaystyle X}$ et qui est un magma pour la loi ${\displaystyle \bullet }$ définie par : ${\displaystyle a\bullet b=(a,b)}$. Cet ensemble doit nécessairement contenir

• les éléments ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,\dots }$ de ${\displaystyle X}$
• les couples ${\displaystyle (a,b),\,(a,c),\,(b,c),\ \dots }$ d'éléments de ${\displaystyle X}$
• les couples ${\displaystyle (a,(b,c)),\,((a,b),c),\ \dots }$ formés d'un couple et d'un élément de ${\displaystyle X}$
• les couples ${\displaystyle ((a,b),(c,d)),\,(a,(b,(c,d))),\,(a,((b,c),d))\dots }$
• ${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle M_{X}}$ peut être décrit comme l'ensemble des mots parenthésés construits à partir des éléments de ${\displaystyle X}$, l'opération ${\displaystyle \bullet }$ étant une concaténation non associative.

Bourbaki décrit cet ensemble^[4] comme l'union des ensembles de mots de longueur ${\displaystyle n}$ pour ${\displaystyle n}$ appartenant à ${\displaystyle \mathbb {N} }$ . Il définit par récurrence l'ensemble des mots de longueur ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle M_{n}(X)}$ comme l'ensemble somme des ensembles ${\displaystyle M_{p}(X)\times M_{n-p}(X)}$ pour ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n-1}$ : un mot de longueur n est la concaténation d'un mot de longueur ${\displaystyle p}$ et d'un mot de longueur ${\displaystyle n-p}$.

Cet ensemble s'appelle le magma libre construit sur ${\displaystyle X}$.

Ce magma libre construit sur ${\displaystyle X}$ possède la propriété universelle suivante: si ${\displaystyle f}$ est une application de ${\displaystyle X}$ vers un magma ${\displaystyle M}$, il existe une unique extension de ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle {\tilde {f}}}$, qui soit un morphisme de magma de ${\displaystyle M_{X}}$ vers ${\displaystyle M}$.

Historique

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937^[5] et parfois utilisée jusque dans les années 1960^[6], est aujourd'hui à éviter ^[7],[8],[9], l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

Notes et références

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