Mesure de Brown

Ne doit pas être confondu avec Mouvement brownien.

La mesure de Brown est un terme de l'analyse fonctionnelle qui généralise la mesure spectrale pour les opérateurs dans l'algèbre de von Neumann de type II. Le terme a été introduit 1983 par Lawrence G. Brown^[1]. La mesure de Brown est utilisée entre autres dans la théorie des matrices aléatoires.

Mesure de Brown

Soit ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ une algèbre de von Neumann avec un état ${\displaystyle \tau }$ tracial, normale et fidèle. Pour ${\displaystyle T\in {\mathcal {M}}}$, soit ${\displaystyle \mu _{|T|}}$ la mesure spectrale de ${\displaystyle |T|=(T^{*}T)^{1/2}}$ par rapport à ${\displaystyle \tau }$.

Le déterminant opérateur suivant est appelé déterminant de Fuglede-Kadison (en)

${\displaystyle \Delta (T)=\exp \left(\int _{0}^{+\infty }\ln t\,\mathrm {d} \mu _{|T|}(t)\right).}$

Brown a prouvé qu'il existe une mesure de probabilité unique ${\displaystyle \mu _{T}}$ avec support compact sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ et ${\displaystyle \mu _{T}}$ a la propriété

${\displaystyle \ln \Delta (T-\lambda \mathbf {1} )=\int _{\mathbb {C} }\ln |z-\lambda |\mathrm {d} \mu _{T}(z),\quad \lambda \in \mathbb {C} .}$

Cette mesure ${\displaystyle \mu _{T}}$ est appelée la mesure de Brown^[2].

Bibliographie

• (en) Uffe Haagerup et Flemming Larsen, « Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras », Journal of Functional Analysis, vol. 176, n^o 2,‎ 1999 (lire en ligne)
• (en) Uffe Haagerup et Hanne Schultz, « Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra », Mathematica Scandinavica, vol. 100, n^o 2,‎ 2007 (DOI 10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arXiv math/0605251)
• (en) James A. Mingo et Roland Speicher, Free probability and random matrices, vol. Vol. 35, Springer Verlag, coll. « Fields Institute Monographs », 2017

Références

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