Mesure de Mahler

En mathématiques, la mesure de Mahler est une mesure de la complexité des polynômes. Elle porte le nom de Kurt Mahler (1903–1988) et était à l'origine utilisée dans la recherche de grands nombres premiers. En raison de la connexion à des valeurs particulières des fonctions L, elle fait l'objet de nombreuses conjectures en théorie analytique des nombres .

Définition

La mesure de Mahler $M(p)$ d'un polynôme $p(x)\in \mathbb {C} [x]$ à coefficients réels ou complexes est par définition :

M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln(|p(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|)\,d\theta \right).

où

\|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }\,

est la norme $L_{\tau }$ de $p$ . A l'aide de la formule de Jensen, on peut montrer que pour la factorisation :

p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})

on obtient l'expression :

M(p)=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\}=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|

La mesure de Mahler logarithmique d'un polynôme est définie comme

m(p)=\log M(p)

La mesure de Mahler d'un nombre algébrique $\alpha$ est définie comme la mesure de Mahler du polynôme minimal de $\alpha$ sur $\mathbb {Q}$ .

Propriétés

La mesure de Mahler est multiplicative, c'est-à-dire : $M(p\,q)=M(p)\cdot M(q).$
Pour les polynômes cyclotomiques et leurs produits, on a $M(p)=1$ .
Théorème de Kronecker : Si $p$ un polynôme unitaire irréductible à coefficients entiers et $M(p)=1$ , alors soit $p(z)=z$ , soit $p$ est un polynôme cyclotomique.
La conjecture de Lehmer (en) stipule qu'il existe une constante $\mu >1$ telle que tout polynôme irréductible $p$ à coefficients entiers est soit cyclotomique soit vérifie $M(p)>\mu$ .
La mesure de Mahler d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est un nombre de Perron .

Valeurs spéciales des fonctions L

Il existe de nombreuses relations, en partie conjecturées et en partie également prouvées, entre les mesures de Mahler (logarithmiques) des polynômes et des valeurs particulières des fonctions L .

Historiquement, le premier exemple est la formule de Smyth

m(1+x_{1}+x_{2})={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)

où

L(\chi _{-3},s)={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}-{\frac {1}{5^{s}}}+-\ldots

Une conjecture de Ted Chinburg affirme que, pour tout entier positif $f$ , il existe un polynôme de Laurent $P_{f}\in \mathbb {Z} (x,y)$ et un nombre rationnel $r_{f}\in \mathbb {Q}$ tel que

m(P_{f})=r_{f}d_{F}

où

d_{f}={\frac {f{\sqrt {f}}}{4\pi }}L(\chi _{-f},2)

est le discriminant du caractère $\chi _{-f}(n)=\left({\frac {-f}{n}}\right)$ .

Une approche qui remonte à Boyd et Rodriguez-Villegas consiste à représenter les mesures logarithmiques de Mahler d'une certaine classe de polynômes comme des combinaisons linéaires rationnelles de valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner d'arguments algébriques, et de mettre ces valeurs à leur tour en relation avec le volume d'une variété hyperbolique, et en les reliant à des valeurs spécifiques de fonctions zêta via le théorème de Borel.

Mesure de Mahler pour les polynômes de plusieurs variables

La mesure de Mahler $M(p)$ d'un polynôme $p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ est défini de manière analogue par la formule

M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\ln \left(\left|p(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{1}},\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{2}},\ldots ,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{n}})\right|\right)\,\mathrm {d} \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \mathrm {d} \theta _{n}\right).

On peut montrer que $M(p)$ converge (Lawton 1983).

Pour ${\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ , soit

q({\boldsymbol {r}}):=\min\{\max\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}:s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}

Alors on a :

M\left(p(x_{1},\ldots ,x_{n})\right)=\lim _{{\boldsymbol {r}}\in \mathbb {N} ^{n} \atop q({\boldsymbol {r}})\to \infty }M\left(p(x^{r_{1}},x^{r_{2}},\ldots ,x^{r_{n}})\right).

Bibliographie

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