Pour les articles homonymes, voir Fonction négligeable (informatique).
En analyse mathématique, la prépondérance ou négligeabilité relie deux fonctions à valeurs dans ou , formalisant la notion que l'une devient insignifiante devant l'autre au voisinage d'un point ou de l'infini.
Par exemple, avec et , quand , devient arbitrairement petit devant . On dit alors que est négligeable devant ou que est prépondérante devant au voisinage de l'infini, ce que l'on note
Avec la domination et l'équivalence, la négligeabilité est une relation de comparaison. Elle est transitive, mais n'est ni réflexive, ni symétrique.
Définition
Soient et deux fonctions définies sur une partie de à valeurs dans ou , et soit un point adhérent à ( peut être un réel, ou ).
On dit que est négligeable devant , ou que est prépondérante devant au voisinage de si il existe une fonction et un voisinage de tels que :
, et sur
Ce qui est équivalent à :
si :
si :
si :
Une autre caractérisation plus commode dans le cas où ne s'annule pas au voisinage de est :
est négligeable devant au voisinage de si :
On écrit alors , qui se lit « est un petit de au voisinage de ». C'est une des notations de Landau.
Dans le cas où ne s'annule pas au voisinage de mais s’annule en , f est négligeable devant g au voisinage de si :
et si
Propriétés
Si et alors .
Si et alors ,
en particulier, si et est bornée au voisinage de a, alors .
Si et , ou si et , alors
en particulier, est transitive.
.
Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle
Échelle de comparaison
Une échelle de comparaison est[1] une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a), non équivalentes à 0 en a, telle que :
.
Définition
Soient f une fonction définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur , et une échelle de comparaison en a.
On dit que f admet la fonction comme partie principale par rapport à l'échelle s'il existe un réel A non nul tel que (ou )[2].
Propriétés
Unicité en cas d'existence
Soient et admettant respectivement et comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison .
La partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison est la même que celle de .
Si alors est la partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison .
Si et alors est la partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison .
Comparaison pour les suites
Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur , auquel est adhérent.
Par conséquent, une suite de nombres réels est négligeable devant une suite réelle si et seulement si :
il existe une suite de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang,
ou encore :
,
ce qui, lorsque ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à :
.
On note : .
Références
↑Bernard Randé, Procédés sommatoires – Développements asymptotiques, Techniques de l'ingénieur, (lire en ligne), p. 4.