Point de Lebesgue

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, un point x du domaine de définition d'une application f Lebesgue-intégrable sur ℝⁿ est appelé point de Lebesgue lorsque f varie « très peu » au voisinage de x ou de manière plus générale si les moyennes des applications t ↦|f(t) – f(x)| sur les boules centrées sur x sont « très petites ».

Définition

Plus précisément, on dit que x est un point de Lebesgue de f ∈ L¹(ℝⁿ) si

\lim _{r\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{\lambda \left(B\left(x,r\right)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)-f(x)|\mathrm {d} \lambda (t)=0,

où B(x, r) désigne la boule de ℝⁿ centrée en x et de rayon r > 0 et λ désigne la mesure de Lebesgue.

Un théorème

Le théorème de différentiation de Lebesgue affirme que si f ∈ L¹(ℝ) alors presque tous les points de ℝ sont des points de Lebesgue. Autrement dit l'ensemble des points x ∈ ℝ qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.

Application

Une application directe du théorème précédent est une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse :

Si f ∈ L¹(ℝ) et $F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t){\rm {d}}\lambda (t)$ alors, en tout point de Lebesgue de f donc presque partout, F est dérivable et F'(x) = f(x).