Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadri-moment[1] (ou quadrivecteur impulsion[1] ou quadri-impulsion[2] ou quadrivecteur impulsion-énergie[3] ou quadrivecteur énergie-impulsion[4]) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte.

Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel p → = ( p x , p y , p z ) {\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})} et d'énergie E {\displaystyle E}  :

( p 0 p 1 p 2 p 3 ) = ( E / c p x p y p z ) = ( γ m c γ m v x γ m v y γ m v z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}p^{0}\\p^{1}\\p^{2}\\p^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma mc\\\gamma mv_{x}\\\gamma mv_{y}\\\gamma mv_{z}\end{pmatrix}}} .

Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz.

Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées   ( p 0 ; p 1 ; p 2 ; p 3 ) {\displaystyle \ \left(p^{0};p^{1};p^{2};p^{3}\right)} , dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées   ( p 0 ; p 1 ; p 2 ; p 3 ) {\displaystyle \ \left(p_{0};p_{1};p_{2};p_{3}\right)} et sont telles que   p i = η i j . p j {\displaystyle \ p_{i}=\eta _{ij}.p^{j}} .

Le carré de la pseudonorme du quadrivecteur conduit à la relation d'Einstein[5],[6],[7] :

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} ,

reliant l'énergie, la masse et l'impulsion[7]. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} [7]. Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un photon, la relation se réduit à E = p c {\displaystyle E=pc} [8].

La 4-impulsion est une des notions introduites par Hermann Minkowski[9],[10],[11].

Dénominations

La dénomination « quadrivecteur énergie-quantité de mouvement » reste usitée[12]. Mais, en raison notamment de sa longueur[13], des auteurs lui substituent celle de « quadrivecteur énergie-impulsion »[14],[15] ou de « quadrivecteur impulsion-énergie »[16]. Cela est discutable car « impulsion » devrait être réservé à « l'action d'une force pendant un court intervalle de temps » et ainsi à « une variation de quantité de mouvement »[13].

Relation avec la quadrivitesse

Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante :

p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} où m {\displaystyle m} correspond à la masse au repos.

Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos   m {\displaystyle \ m} et de la quadrivitesse   u {\displaystyle \ u} .

En coordonnées contravariantes, on a   u = ( u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) = ( γ . c , γ v x , γ v y , γ v z ) {\displaystyle \ u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\left(\gamma .c,\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z}\right)} , où γ = 1 1 − ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière :

p μ = m u μ {\displaystyle p^{\mu }=m\,u^{\mu }\!} où μ ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \mu \in {\big \{}0,1,2,3{\big \}}}

Norme de Minkowski : p2

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule :

p ⋅ p = η μ ν p μ p ν = E 2 c 2 − | p → | 2 = m 2 c 2 {\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}}

Puisque | p | 2 {\displaystyle |p|^{2}\!} est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.

En utilisant la métrique de Minkowski :

η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}} .

Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention η μ ν = ( − , + , + , + ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-,+,+,+)} au lieu de la convention η μ ν = ( + , − , − , − ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(+,-,-,-)} adoptée dans cet article[N 1]. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.

Conservation du quadri-moment

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné[N 2] implique deux lois de conservations pour des quantités dites classiques :

  1. La quantité totale d'énergie   E = c . p 0 {\displaystyle \ E=c.p^{0}} est invariante.
  2. Le moment linéaire classique tridimensionnel p → {\displaystyle {\vec {p}}} reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/c2 mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c2. Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c2.

Une application pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments pA et pB de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne qμ = pAμ + pBμ, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|2 = M2c2. En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante Aμ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

p μ A μ = p μ d d t η μ ν p ν m = 1 2 m d d t | p | 2 = 1 2 m d d t ( m 2 c 2 ) = 0 {\displaystyle p_{\mu }A^{\mu }=p_{\mu }{\frac {d}{dt}}{\frac {\eta ^{\mu \nu }p_{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}|p|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}(m^{2}c^{2})=0} .

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste: P μ {\displaystyle P^{\mu }} , qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :

P μ = p μ + q A μ {\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }\!} ,

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique :

( A 0 A 1 A 2 A 3 ) = ( ϕ / c A x A y A z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi /c\\A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}} .

Notes et références

Notes

  1. ↑ La convention de signe η μ ν = ( + , − , − , − ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(+,-,-,-)} est présente dans Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], par exemple.
  2. ↑ La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total p ν {\displaystyle p^{\nu }} d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : p ′   μ = Λ μ ν p ν {\displaystyle p'~^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }p^{\nu }} . Le nouveau quadri-moment p ′   μ {\displaystyle p'~^{\mu }} est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à p ν {\displaystyle p^{\nu }} .

Références

  1. ↑ a et b Relativité générale et gravitation de Edgard Elbaz, (ellipse 1986), chapitre IV, §4
  2. ↑ Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §9
  3. ↑ Ch. Grossetête, Relativité restreinte et structure atomique de la matière, Paris, Ellipses, , 320 p. (ISBN 2-7298-8554-4), p. 61
  4. ↑ Introduction à la relativité de James H. Smith, InterEditions (1968), (2e édition en 1979 (ISBN 2-7296-0088-4) rééditée par Masson : Dunod - 3e édition - 1997 (ISBN 2-225-82985-3)), chapitre 12
  5. ↑ Gourgoulhon 2010, chap. 9, sect. 9.1, § 9.1.2, p. 277.
  6. ↑ Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, § 9.3, p. 173.
  7. ↑ a b et c Vafa 2021, chap. 1er, § 1.7, p. 14.
  8. ↑ Pérez 2017, chap. 5, sect. IV, § IV.2, p. 95.
  9. ↑ Darrigol 2022, chap. 7, § 7.4, p. 219.
  10. ↑ Gourgoulhon 2010, chap. 9, sect. 9.1, § 9.1.1, n. historique, p. 275.
  11. ↑ Walter 2007, § 2, p. 222.
  12. ↑ Provost, Raffaelli et Vallée 2019, chap. 4, sect. 4.3, p. 110.
  13. ↑ a et b Le Bellac 2015, chap. 4, § 4.1, n. 2, p. 54.
  14. ↑ Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, § 9.3, p. 172.
  15. ↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609, col. 2.
  16. ↑ Barrau et Grain 2016, chap. 2, sect. 2.2, § 2.2.4, p. 23.

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, , 2e éd., poche (ISBN 978-0-19-853952-0, LCCN 90048748)

Histoire des sciences

  • [Darrigol 2022] (en) Olivier Darrigol, Relativity principles and theories from Galileo to Einstein, Oxford et New York, Oxford University Press, hors coll., , 1re éd., XII-472 p., 25 cm (ISBN 978-0-19-284953-3, EAN 9780192849533, OCLC 1258675513, SUDOC 256229503, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Walter 2007] (en) Scott A. Walter, « Breaking in the four-vectors : the four-dimensional movement in gravitation », dans Jürgen Renn et Matthias Schemmel (éd.), The genesis of general relativity, t. III : Gravitation in the twilight of classical physics : between mechanics, field theory, and astronomy, Dordrecht, Springer, coll. « Boston studies in the philosophy of science » (no 250), , 1re éd., 619 p., 25 cm (ISBN 978-1-4020-3999-7 et 978-94-017-8518-1, OCLC 496603813, BNF 40991060, DOI 10.1007/978-1-4020-4000-9, Bibcode 2007ggr..conf.....R, SUDOC 113837798, présentation en ligne, lire en ligne), p. 193-252 (OCLC 108382579, DOI 10.1007/978-1-4020-4000-9_18, résumé).

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  • [Vafa 2021] Cumrun Vafa (trad. de l'anglais par Michel Le Bellac, préf. Étienne Klein), L'Univers décrypté par les énigmes [« Puzzles to unravel the Universe »], Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », , 1re éd., XVI-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2594-3, EAN 9782759825943, OCLC 1282197253, BNF 46879352, SUDOC 258258314, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

  • [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., , 4e éd. (1re éd. ), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609-610.

Articles connexes

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