Théorème de Brauer-Siegel

En mathématiques, le théorème de Brauer-Siegel, du nom de Richard Brauer et Carl Ludwig Siegel, est un résultat asymptotique sur le comportement des corps de nombres, obtenu par Richard Brauer et Carl Ludwig Siegel. Il tente de généraliser les résultats connus sur les nombres de classes des corps quadratiques imaginaires, à une suite plus générale de corps de nombres

${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots .}$

Dans tous les cas autres que le corps Q des rationnels et les corps quadratiques imaginaires, le régulateur R_i de K_i doit être pris en compte, car K_i a alors des unités d'ordre infini par le théorème des unités de Dirichlet. L'hypothèse quantitative du théorème de Brauer-Siegel standard est que si D_i est le discriminant de K_i, alors

${\displaystyle {\frac {[K_{i}:\mathbf {Q} ]}{\log |D_{i}|}}\to 0{\text{ quand }}i\to \infty .}$

En supposant de plus que K_i est une extension galoisienne de Q, la conclusion est que

${\displaystyle {\frac {\log(h_{i}R_{i})}{\log {\sqrt {|D_{i}|}}}}\to 1{\text{ quand }}i\to \infty }$

où h_i est le nombre de classes de K_i. Si l'on suppose que tous les degrés ${\displaystyle [K_{i}:\mathbf {Q} ]}$ sont majorés par une même constante N, alors on peut se passer de l'hypothèse de normalité — c'est ce qui est en fait prouvé dans l'article de Brauer.

Ce résultat est ineffectif, comme l'était d'ailleurs le résultat sur les corps quadratiques sur lesquels il s'est construit. Des résultats effectifs dans le même sens ont été initiés dans les travaux de Harold Stark à partir du début des années 1970.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Brauer–Siegel theorem » (voir la liste des auteurs).
• (en) Richard Brauer, « On the Zeta-function of algebraic number fields », Amer. J. Math., vol. 69,‎ 1947, p. 243-250.

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