Théorème de Legendre

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Le théorème de Legendre qui suit concerne les équations diophantiennes de la forme a x 2 + b y 2 + c z 2 = 0 {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0} où les coefficients a , b , c {\displaystyle a,b,c} satisfont les hypothèses suivantes :

  1. a > 0 {\displaystyle a>0} , b < 0 {\displaystyle b<0} et c < 0 {\displaystyle c<0} ,
  2. a , b , c {\displaystyle a,b,c} sont sans facteur carré et premiers entre eux deux à deux.

Le théorème de Legendre énonce alors que l'équation diophantienne ci-dessus a une solution (non triviale) si et seulement si :

  • − a b {\displaystyle -ab} est résidu quadratique ( mod c ) {\displaystyle {\pmod {c}}} ,
  • − b c {\displaystyle -bc} est résidu quadratique ( mod a ) {\displaystyle {\pmod {a}}} et
  • − c a {\displaystyle -ca} est résidu quadratique ( mod b ) {\displaystyle {\pmod {b}}} .

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, coll. « GTM » (no 84), (lire en ligne), p. 273-274
  • Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en), vol. II: Diophantine Analysis, chap. XIII, p. 422, Chelsea Publishing, 1971, (ISBN 0-8284-0086-5).

Lien externe

(en) José Felipe Voloch, Legendre's Theorem (p. 4-7)

  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres