Théorème de McCoy

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En algèbre linéaire, le théorème de McCoy[1] donne une condition nécessaire et suffisante pour que deux matrices carrés complexes soient cotrigonalisables[2].

Théorème — Soient A , B ∈ M n ( C ) {\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )} . A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} sont cotrigonalisables si, et seulement si, pour tout polynôme en deux variables non commutatives P {\displaystyle P} , la matrice P ( A , B ) ( A B − B A ) {\displaystyle P(A,B)(AB-BA)} est nilpotente.

Le corps des nombres complexes peut être remplacé par n'importe quel corps contenant toutes les valeurs propres des deux matrices, et le théorème se généralise à un nombre quelconque (fini) de matrices[3].

Notes et références

  1. ↑ (en) Neal H. McCoy, « On quasi-commutative matrices », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 36,‎ , p. 327-340 (lire en ligne)
  2. ↑ Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, Exercices de mathématiques, oraux x-ens : algèbre 2, Paris, Cassini, , 268 p. (ISBN 978-2-84225-142-0), p. 119
  3. ↑ Bettye Anne Case et Anne M. Leggett, Complexities: Women in Mathematics, Princeton University Press, , 412 p. (ISBN 978-0-691-11462-0, lire en ligne), p. 303
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