Binomiális sor

A binomiális sor a matematikai analízisben az  (1 + x) α függvény MacLaurin-sora, ahol α ∈ C egy tetszőleges komplex szám. Képlettel kifejezve:

( 1 + x ) α = ∑ k = 0 ∞ ( α k ) x k ( 1 ) = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}\qquad \qquad \qquad (1)\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots ,\end{aligned}}}

A binomiális sor egy hatványsor az (1) képlet jobb oldalán, binomiális együtthatókkal kifejezve:

( α k ) := α ( α − 1 ) ( α − 2 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! . {\displaystyle {\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}

Speciális esetek

Ha α egy nem negatív n egész, akkor (n+1)-ik tag, és sorozat összes többi tagja 0-val egyenlő, mivel mindegyik tartalmazza a (n - n) tényezőt; így aztán a sorozat véges, és a binomiális tételt adja. A következő változat tetszőleges komplex β –ra igaz, de különösen hasznos negatív egész kitevők esetén:

1 ( 1 − z ) β + 1 = ∑ k = 0 ∞ ( k + β k ) z k . {\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}.}

Ezt bizonyítandó, helyettesítsük x=−z –t az (1) képletbe, és alkalmazzuk a binomiális együttható azonosságát.

Összegzés

A binomiális sor differenciálásával, |x| < 1 konvergencia mellett, használva az (1) képletet, egy összeget kapunk, mely egy analitikus-függvény, a (1 + x)u'(x) = α u(x) közönséges differenciálegyenlet megoldása, u(0) = 1 kezdeti értékkel. A probléma egyedi megoldása u(x) = (1 + x)α, mely a binomiális sor összege, legalább |x| < 1.esetén. Az egyenlőség kiterjeszthető |x| = 1-re, ha a sor konvergál, Abel-féle binomiális tétel következményeképpen, és (1 + x)α folytonossága miatt.

Történet

Sir Isaac Newtontól származnak az első eredmények, melyek a binomiális sorok kidolgozásához vezettek. Newton bizonyos görbéket vizsgált, pozitív egész kitevőkkel. Az eredményeket tovább fejlesztette John Wallis, aki a y = (1 − x²)n egyenlettel foglalkozott, n=0, 1, 2, 3,… esetekben, és tört kitevőkkel is próbálkozott. Egyértelműen a következő egyenleteket írta le:[1]

( 1 − x 2 ) 1 / 2 = 1 − x 2 2 − x 4 8 − x 6 16 ⋯ {\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }
( 1 − x 2 ) 3 / 2 = 1 − 3 x 2 2 + 3 x 4 8 + x 6 16 ⋯ {\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }
( 1 − x 2 ) 1 / 3 = 1 − x 2 3 − x 4 9 − 5 x 6 81 ⋯ {\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }

A fentiek miatt a binomiális sorokat Newton binomiális elméletének is szokták hívni. Newton nem bizonyította, és nem adott egyértelmű leírást a sor természetéről; valószínűleg, mint igazoló példaként kezelte a sorokat, formális hatvány soroknak. Később Niels Henrik Abel foglalkozott emlékirataiban a sorokkal, főleg a konvergencia kérdéseivel.

Irodalom

  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  
  • J. L. Coolidge: The Story of the Binomial Theorem. (hely nélkül): The American Mathematical Monthly 56:3. 1949. 147–157. o.  

Kapcsolódó szócikkek

Források

  1. ↑ The Story of the Binomial Theorem, by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), pp. 147–157. In fact this source gives all non-constant terms with a negative sign, which is not correct for the second equation; one must assume this is an error of transcription.