Cavalieri-elv

A Cavalieri-elv szemléltetése

A Cavalieri-elv a geometriában, jelesül a térfogatszámításban használt eljárás. Lényege, hogy két test térfogata között állít fel egyenlőséget, így az egyébként nehezen számolható térfogatú testek esetén is kezelhető számításokat végezhetünk.

A tétel

Népszerű megfogalmazás szerint a Cavalieri-elv azt mondja ki, hogy ha két testet azonos síkokkal vágunk szeletekre, és ezen szeletek alapterülete egyenlő, akkor a két test térfogata egyenlő. Valójában azonban a tétel ennél erősebb.[* 1]

Állítás

Ha két test ugyanazon féltér határán található, az egyes síkmetszeteik páronként azonos területűek, és van olyan, a határt metsző egyenes a féltérben, amivel párhuzamos egyenesek testekkel való metszéspontjai a féltér határáig tartó szakaszt alkotnak, akkor a két testnek van térfogata, és ezek egyenlőek.

Bizonyítás[1]

Vegyünk két testet, amikre a tétel feltételei érvényesek. Osszuk fel mindkét test m magasságát n egyenlő részre, és ezeken a metszéspontokon át metsszük el a testeket párhuzamos síkokkal. A síkmetszetekre felfelé és lefelé állítsunk m/n magasságú, a metsző egyenesekkel párhuzamos tengelyű hengereket.[* 2] Ezek térfogata egyenlő lesz. A két testet páronként egybevágó hengerek sorozatával közelítjük. Ha a magasság felbontását finomítjuk, akkor ez az egyenlőség folyamatosan fennáll, tehát ha van a két testnek térfogata, akkor az feltétlenül egyenlő.

Igazoljuk hát, hogy van térfogatuk! Akármelyik testet nézzük, az eljárás révén a test térfogatát egy külső és egy belső hengersorral közelítjük. Ezek térfogata legyen V(O) és V(I)! Ekkor van olyan ε valós szám, hogy

V ( O ) − V ( I ) ≤ ε t , {\displaystyle V(O)-V(I)\leq {\frac {\varepsilon }{t}},}

ahol t a síkmetszet területe. Mivel ε a felosztástól függ, ezért

lim n → ∞ ε = lim n → ∞ c ⋅ m n = c ⋅ m ⋅ lim n → ∞ 1 n = 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varepsilon =\lim _{n\to \infty }{\frac {c\cdot m}{n}}=c\cdot m\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0,}

így határértékben a két térfogat megegyezik. Ebből következik, hogy a testnek van térfogata. QED

Alkalmazások

A Cavalieri-elvnek jellemző alkalmazása különféle testek térfogatának meghatározása.

Gömb térfogatának meghatározása

Adott egy r sugarú félgömb. Vegyünk fel a lapjával azonos síkon fekvő, r sugarú és magasságú egyenes hengert! A féltér határával párhuzamos, attól 0≤x≤r magasságban lévő metsző sík által a gömbből kimetszett kör sugara a Pitagorasz-tétel szerint

ρ = r 2 − x 2 , {\displaystyle \rho ={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},}

így a kör területe

A = π ρ 2 = π ( r 2 − x 2 ) = π r 2 − π x 2 . {\displaystyle A=\pi \rho ^{2}=\pi (r^{2}-x^{2})=\pi r^{2}-\pi x^{2}.}

Az első tag a henger síkmetsezteinek területét adja. Mivel x lineárisan nő 0-tól r-ig, ezért a második tag egy kúp síkmetszeteinek területe, amely középpontja a határoló félsíkon, a henger tengelyegyenesén van és alaplapja a henger felső alaplapja. Mindkét test esetében a határsíkra merőleges egyenesek a Cavalieri-elv által megkívánt tulajdonságúak, így a félgömb térfogata a henger megmaradó részének térfogatával egyenlő.

A henger térfogata

V c = π r 3 , {\displaystyle V_{c}=\pi r^{3},}

a kúpé

V k = π r 3 3 , {\displaystyle V_{k}={\frac {\pi r^{3}}{3}},}

azért a két test különbségének térfogata

V = V c − V k = π r 3 − π r 3 3 = 2 π r 3 3 . {\displaystyle V=V_{c}-V_{k}=\pi r^{3}-{\frac {\pi r^{3}}{3}}={\frac {2\pi r^{3}}{3}}.}

Ez a félgömb térfogata, a teljes gömb ennek a duplája, így

V s = 4 π r 3 3 . {\displaystyle V_{s}={\frac {4\pi r^{3}}{3}}.} QED

Megjegyzések

  1. ↑ Sok esetben ilyen formában is használják, mivel a vizsgált esetekben a testek térfogatának létezése eleve biztosított.
  2. ↑ Pontosabban hengerszerű testeket, mivel az alaplap jellemzően nem kör.

Jegyzetek

  1. ↑ Dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó, 282. o. (1974). ISBN 963 017 0746 6 

Források

  • Dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó (1974). ISBN 963 17 0746 6